Ascension Maths

I. Signe de la dérivée et sens de variation

Le nombre dérivé donne la pente de la tangente en un point. Là où cette pente est positive, la courbe monte ; là où elle est négative, la courbe descend. Ce constat visuel devient le théorème central de l'analyse au lycée.

ThéorèmeVariations et signe de la dérivée

On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ , alors la fonction $f$ est croissante sur $I$ .

Si $f'(x) \leqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ , alors la fonction $f$ est décroissante sur $I$ .

Si $f'(x)=0$ pour tout $x$ de $I$ , alors la fonction $f$ est constante sur $I$ .

MéthodeÉtudier les variations d'une fonction

La démarche est toujours la même, et elle se rédige en quatre temps.

Préciser l'ensemble d'étude et vérifier que la fonction y est dérivable.
Calculer la dérivée $f'(x)$ , puis la factoriser autant que possible.
Étudier le signe de cette dérivée, avec un tableau de signes.
En déduire le tableau de variations de $f$ , en y reportant les valeurs remarquables.

Exemple

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x$ . Sa dérivée vaut

f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)

Ce trinôme s'annule en $-1$ et $1$ , avec un coefficient dominant positif : la dérivée est positive à l'extérieur de $[-1\,;1]$ et négative à l'intérieur.

La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty\,;-1]$ , décroissante sur $[-1\,;1]$ , puis croissante sur $[1\,;+\infty[$ .

Attention

Le théorème demande un intervalle. La fonction inverse a une dérivée négative partout où elle est définie, sans être décroissante sur la réunion $]-\infty\,;0[\;\cup\;]0\,;+\infty[$ : il faut conclure séparément sur chacun des deux intervalles.

II. Extrémums

PropriétéDérivée et extrémum

Si une fonction $f$ dérivable sur un intervalle ouvert admet un extrémum local en un réel $c$ intérieur à cet intervalle, alors $f'(c)=0$ .

Réciproquement, si la dérivée s'annule en $c$ en changeant de signe, alors la fonction admet un extrémum en $c$ .

Attention

Une dérivée qui s'annule ne suffit pas. Pour la fonction cube, la dérivée s'annule en $0$ sans changer de signe : la courbe présente une tangente horizontale, mais la fonction reste croissante et n'a aucun extrémum.

Remarque

Géométriquement, la tangente en un extrémum est horizontale, puisque son coefficient directeur est nul. C'est souvent ainsi que la question est posée dans un énoncé.

Exemple

Reprenons la fonction définie par $f(x)=x^3-3x$ . La dérivée s'annule en $-1$ en passant du positif au négatif : la fonction admet un maximum local $f(-1)=2$ .

En $1$ , la dérivée passe du négatif au positif : la fonction admet un minimum local $f(1)=-2$ .

III. Problèmes d'optimisation

MéthodeLa démarche complète

Choisir la variable, la nommer, et préciser l'intervalle où elle peut varier d'après les contraintes concrètes.
Exprimer la quantité à optimiser en fonction de cette variable.
Dériver, étudier le signe de la dérivée, dresser le tableau de variations.
Conclure en répondant à la question posée, avec l'unité, et sans oublier de vérifier que la valeur trouvée appartient bien à l'intervalle de départ.

ExempleUne boîte sans couvercle

Dans une plaque carrée de $20$ centimètres de côté, on découpe quatre carrés de côté $x$ aux coins, puis on relève les bords pour former une boîte. Le volume obtenu vaut

V(x)=x\,(20-2x)^2

avec $x$ dans l'intervalle $]0\,;10[$ . En développant puis en dérivant :

V(x)=4x^3-80x^2+400x \qquad V'(x)=12x^2-160x+400

Le discriminant vaut $160^2-4 \times 12 \times 400 = 6\,400$ , d'où les racines $\dfrac{160-80}{24}=\dfrac{10}{3}$ et $\dfrac{160+80}{24}=10$ .

Sur l'intervalle d'étude, seule $\dfrac{10}{3}$ convient, et la dérivée y change de signe du positif au négatif. Le volume est donc maximal pour $x=\dfrac{10}{3}$ centimètres.

IV. Position relative de deux courbes

MéthodeÉtudier le signe de la différence

Pour comparer les courbes de deux fonctions $f$ et $g$ , on étudie le signe de la différence $d(x)=f(x)-g(x)$ .

Là où cette différence est positive, la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ . Là où elle s'annule, les deux courbes se coupent.

La même technique établit une inégalité : montrer que $f(x) \geqslant g(x)$ revient à montrer que la différence est positive, ce qui se fait en étudiant ses variations.

Exemple

Comparons les fonctions définies par $f(x)=x^2$ et $g(x)=x^3$ sur $[0\,;+\infty[$ . La différence vaut

d(x)=x^2-x^3=x^2\,(1-x)

Le facteur $x^2$ est positif, donc le signe de la différence est celui de $1-x$ : la courbe de $f$ est au-dessus sur $[0\,;1]$ , en dessous ensuite, et les deux courbes se coupent aux points d'abscisses $0$ et $1$ .

V. Fonctions paires et impaires

DéfinitionParité

On considère une fonction $f$ définie sur un ensemble $D$ symétrique par rapport à zéro, c'est-à-dire tel que $-x$ appartienne à $D$ dès que $x$ y appartient.

La fonction $f$ est paire lorsque $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ de $D$ .

La fonction $f$ est impaire lorsque $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x$ de $D$ .

PropriétéTraduction géométrique

La courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Exemple

La fonction carré est paire, puisque $(-x)^2=x^2$ . La fonction cube est impaire, puisque $(-x)^3=-x^3$ . La fonction définie par $f(x)=x^2+x$ n'est ni l'une ni l'autre.

Remarque

Reconnaître une parité divise le travail par deux : il suffit d'étudier la fonction sur les réels positifs, puis de compléter la courbe par symétrie. Encore faut-il le justifier dans la rédaction.

Variations et courbes représentatives

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Signe de la dérivée et sens de variation

II. Extrémums

III. Problèmes d'optimisation

IV. Position relative de deux courbes

V. Fonctions paires et impaires