Variations et courbes représentatives des fonctions

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$, déterminer si elle est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre. Préciser à chaque fois l'interprétation géométrique obtenue pour sa courbe représentative.

   $$f(x) = x^4 - 3x^2 + 1, \qquad g(x) = x^3 - x, \qquad h(x) = \dfrac{x}{x^2+1}, \qquad k(x) = x^2 + x.$$
   Voir un indice

   Une fonction est paire si $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$, impaire si $f(-x)=-f(x)$. Calculer $f(-x)$ et comparer. Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, une fonction impaire une courbe symétrique par rapport à l'origine.

   Voir la correction

   Les quatre ensembles de définition sont symétriques par rapport à $0$, on peut donc étudier la parité.

   Fonction $f$ : $f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$.

   Donc $f$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

   Fonction $g$ : $g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)$.

   Donc $g$ est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

   Fonction $h$ : $h(-x) = \dfrac{-x}{(-x)^2+1} = \dfrac{-x}{x^2+1} = -h(x)$.

   Donc $h$ est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

   Fonction $k$ : $k(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$. On a $k(-x) \neq k(x)$ (car $x^2 - x \neq x^2 + x$ dès que $x\neq 0$) et $k(-x) \neq -k(x)$ (car $x^2 - x \neq -x^2 - x$ dès que $x\neq 0$).

   Donc $k$ n'est ni paire ni impaire : sa courbe ne présente aucune des deux symétries.

2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

   1. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
   2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
   3. Préciser les extrémums locaux de $f$.
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   Dériver le polynôme, factoriser $f'(x)=3(x^2-1)$, puis étudier le signe du produit $3(x-1)(x+1)$. Le sens de variation de $f$ est donné par le signe de $f'$.

   Voir la correction

   1. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

   C'est un trinôme du second degré de coefficient dominant positif, qui s'annule en $x=-1$ et $x=1$. Donc :

   $$f'(x) > 0 \text{ sur } ]-\infty;-1[ \cup\, ]1;+\infty[, \qquad f'(x) < 0 \text{ sur } ]-1;1[.$$

   2. On calcule $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$ et $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$.

   $$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty\\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + &\\ \hline f & & \nearrow & 4 & \searrow & 0 & \nearrow &\\ \end{array}$$

   3. $f$ admet un maximum local égal à $4$, atteint en $x=-1$, et un minimum local égal à $0$, atteint en $x=1$.

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$.

   1. Déterminer les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ où la tangente est horizontale.
   2. En déduire les extrémums locaux de $f$ et les valeurs correspondantes.
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   La tangente est horizontale en un point d'abscisse $a$ lorsque le nombre dérivé $f'(a)$ est nul. Résoudre $f'(x)=0$, puis étudier le signe de $f'$ pour conclure sur la nature de chaque extrémum.

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   1. $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$.

   La tangente est horizontale là où $f'(x)=0$, c'est-à-dire en $x=1$ et $x=3$.

   2. Signe de $f'(x)=3(x-1)(x-3)$ (trinôme de coefficient dominant positif) :

   $$f'(x) > 0 \text{ sur } ]-\infty;1[ \cup\, ]3;+\infty[, \qquad f'(x) < 0 \text{ sur } ]1;3[.$$

   On calcule $f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$ et $f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$.

   $$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 1 & & 3 & & +\infty\\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + &\\ \hline f & & \nearrow & 5 & \searrow & 1 & \nearrow &\\ \end{array}$$

   $f$ change de sens de variation en $x=1$ et $x=3$ : il y a donc un maximum local égal à $5$ en $x=1$ et un minimum local égal à $1$ en $x=3$. Les tangentes en ces points sont horizontales.

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Soit $f$ la fonction du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$.

   1. Sans calcul de dérivée, indiquer l'allure de la courbe (parabole tournée vers le haut ou vers le bas) et justifier qu'elle admet un extrémum, en précisant sa nature.
   2. Retrouver ce résultat à l'aide de la dérivée : calculer $f'(x)$, dresser le tableau de variations et donner la valeur de l'extrémum.
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   Pour un trinôme $ax^2+bx+c$, le signe de $a$ donne l'allure : si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas et présente un maximum. L'abscisse du sommet est $-\dfrac{b}{2a}$.

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   1. Ici $a = -2 < 0$ : la parabole est tournée vers le bas. Elle admet donc un maximum au sommet.

   2. $f'(x) = -4x + 8 = -4(x - 2)$.

   Comme $-4 < 0$, on a $f'(x) > 0$ pour $x < 2$ et $f'(x) < 0$ pour $x > 2$. La dérivée s'annule en $x = 2 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{8}{2\times(-2)}$.

   $f(2) = -2\times 4 + 8\times 2 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$.

   $$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 2 & & +\infty\\ \hline f'(x) & & + & 0 & - &\\ \hline f & & \nearrow & 5 & \searrow &\\ \end{array}$$

   $f$ admet un maximum égal à $5$, atteint en $x=2$, conforme au raisonnement du 1.

5. 5

   Volume maximal d'une boîte

   Moyen

   On dispose d'une feuille de carton carrée de côté $12$ cm. Pour fabriquer une boîte sans couvercle, on découpe à chaque coin un carré de côté $x$ (en cm), puis on relève les bords.

   1. Justifier que $x$ appartient à l'intervalle $]0\,;6[$, et exprimer le volume $V(x)$ de la boîte en fonction de $x$.
   2. Étudier les variations de $V$ sur $]0\,;6[$.
   3. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le volume est maximal, et calculer ce volume maximal.
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   La base de la boîte est un carré de côté $12-2x$ et la hauteur vaut $x$, donc $V(x)=x(12-2x)^2$. Dériver, puis factoriser $V'(x)$ pour en étudier le signe sur $]0\,;6[$.

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6. 6

   Position relative de deux courbes

   Moyen

   On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ et $g(x)=x^3$, de courbes respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

   Voir un indice

   Étudier le signe de la différence $d(x)=f(x)-g(x)$. Là où $d(x)>0$, $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ ; là où $d(x)<0$, elle est en dessous ; les points d'intersection correspondent à $d(x)=0$.

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7. 7

   Démonstration d'une inégalité

   Moyen

   Démontrer que pour tout réel $x \geq 0$, on a l'inégalité

   $$x^3 + 2 \geq 3x.$$
   Voir un indice

   Poser $f(x)=x^3-3x+2$ et montrer que $f(x)\geq 0$ sur $[0\,;+\infty[$. Pour cela, étudier les variations de $f$ à l'aide de sa dérivée et déterminer son minimum sur cet intervalle.

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8. 8

   Méthode de Newton

   Difficile

   On souhaite obtenir une valeur approchée de $\sqrt{2}$, qui est la solution positive de l'équation $f(x)=0$ avec $f(x)=x^2-2$.

   La méthode de Newton consiste à construire une suite $(x_n)$ en remplaçant, à chaque étape, la courbe par sa tangente : $x_{n+1}$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_n$ avec l'axe des abscisses.

   1. Montrer que la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_n$ (avec $x_n\neq 0$) coupe l'axe des abscisses en $x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(x_n + \dfrac{2}{x_n}\right)$.
   2. En partant de $x_0 = 2$, calculer $x_1$, $x_2$ et $x_3$ (valeurs approchées au millionième pour $x_3$).
   3. Comparer $x_3$ à la valeur $\sqrt{2}\approx 1{,}414214$.
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9. 9

   Étude paramétrée

   Difficile

   Soit $m$ un réel. On considère la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_m(x) = x^3 - mx$.

   1. Montrer que $f_m$ est impaire pour toute valeur de $m$.
   2. Calculer $f_m'(x)$ et discuter, selon le signe de $m$, du sens de variation de $f_m$.
   3. Dans le cas où $f_m$ admet des extrémums, déterminer les abscisses de ces extrémums en fonction de $m$.
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