Ascension Maths

I. Variable aléatoire et loi

Beaucoup d'expériences aléatoires débouchent sur un nombre : un gain, une durée, un nombre de succès. La variable aléatoire est l'objet qui associe ce nombre à chaque issue, et qui permet ensuite de raisonner sur les valeurs plutôt que sur les issues.

DéfinitionVariable aléatoire réelle

Une variable aléatoire réelle $X$ définie sur un univers fini $\Omega$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de $\Omega$ .

L'écriture $\{X=a\}$ désigne l'évènement formé des issues auxquelles $X$ associe la valeur $a$ , et $P(X=a)$ sa probabilité. De même, $\{X \leqslant a\}$ regroupe les issues dont l'image est inférieure ou égale à $a$ .

DéfinitionLoi de probabilité

La loi de probabilité de $X$ est la donnée de toutes les valeurs prises par $X$ , accompagnées de leurs probabilités. Elle se présente sous forme de tableau, et la somme des probabilités de la seconde ligne vaut toujours $1$ .

ExempleUn jeu de dé

Un joueur lance un dé équilibré. Il gagne $5$ euros s'il obtient un six, $1$ euro s'il obtient un cinq, et perd $2$ euros sinon. En notant $X$ le gain algébrique en euros :

$x_i$	$-2$	$1$	$5$
$P(X=x_i)$	$\dfrac{4}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

La somme des probabilités vaut bien $1$ .

MéthodeDéterminer une loi

La démarche comporte trois étapes, et la première est celle qu'on oublie le plus souvent.

Préciser les valeurs que la variable peut prendre.
Calculer la probabilité de chacune, souvent à l'aide d'un arbre ou d'un dénombrement.
Vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$ , ce qui sert de contrôle.

II. Espérance

DéfinitionEspérance

On considère une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_n$ avec les probabilités $p_1, p_2, \ldots, p_n$ . Son espérance est le nombre

E(X)=p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n

C'est une moyenne des valeurs, pondérée par leurs probabilités.

Remarque

L'espérance s'interprète comme la valeur moyenne obtenue si l'expérience était répétée un très grand nombre de fois. Elle n'est pas nécessairement une valeur atteinte : une espérance de $-0{,}5$ euro par partie ne signifie pas qu'on perde $50$ centimes à chaque coup.

Exemple

Pour le jeu de dé précédent :

E(X)=\frac{4}{6} \times (-2)+\frac{1}{6} \times 1+\frac{1}{6} \times 5 = \frac{-8+1+5}{6}=-\frac{1}{3}

Le joueur perd en moyenne un tiers d'euro par partie. Le jeu est défavorable au joueur, et il serait équitable si l'espérance valait $0$ .

PropriétéLinéarité de l'espérance

Pour tous réels $a$ et $b$ :

E(aX+b)=a\,E(X)+b

Cette propriété évite de recalculer une loi entière lorsque les gains sont modifiés par une mise ou par un facteur multiplicatif.

Exemple

Si l'organisateur du jeu précédent double tous les gains et prélève $1$ euro de mise, le nouveau gain est $Y=2X-1$ , d'espérance

E(Y)=2 \times \left(-\frac{1}{3}\right)-1=-\frac{5}{3}

III. Variance et écart type

Deux jeux peuvent avoir la même espérance tout en étant très différents : l'un donne toujours à peu près le même gain, l'autre alterne gros gains et grosses pertes. La variance mesure précisément cet écart au comportement moyen.

DéfinitionVariance et écart type

La variance de $X$ est le nombre

V(X)=p_1\big(x_1-E(X)\big)^2+\cdots+p_n\big(x_n-E(X)\big)^2

L'écart type est sa racine carrée :

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

La variance est une moyenne des carrés des écarts à l'espérance ; elle est donc toujours positive.

PropriétéFormule de König-Huygens

V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2

où $E(X^2)$ désigne l'espérance de la variable $X^2$ , c'est-à-dire $p_1x_1^2+\cdots+p_nx_n^2$ .

Cette formule est presque toujours plus rapide que la définition, car elle évite de soustraire l'espérance dans chaque terme.

Exemple

Reprenons le jeu de dé, dont l'espérance vaut $-\dfrac{1}{3}$ .

E(X^2)=\frac{4}{6} \times 4+\frac{1}{6} \times 1+\frac{1}{6} \times 25=\frac{16+1+25}{6}=7

V(X)=7-\left(-\frac{1}{3}\right)^2=7-\frac{1}{9}=\frac{62}{9}

L'écart type vaut donc $\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{62}{9}} \approx 2{,}62$ euros : les gains s'écartent en moyenne de plus de deux euros de leur valeur moyenne.

Attention

La variance s'exprime dans le carré de l'unité de départ, ce qui la rend difficile à interpréter directement. C'est l'écart type, exprimé dans la même unité que $X$ , qui se commente dans une conclusion.

IV. Calculer avec un programme

ExempleEspérance et variance

Les valeurs et leurs probabilités sont données par deux listes de même longueur.

def esperance(valeurs, probas):
    e = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        e = e + valeurs[i] * probas[i]
    return e

def variance(valeurs, probas):
    m = esperance(valeurs, probas)
    v = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        v = v + probas[i] * (valeurs[i] - m) ** 2
    return v

ExempleÉcart type

from math import sqrt

def ecart_type(valeurs, probas):
    return sqrt(variance(valeurs, probas))

Chaque fonction en réutilise une autre : c'est le principe de la programmation modulaire, déjà rencontré dans le chapitre sur les listes.

Variables aléatoires réelles

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Variable aléatoire et loi

II. Espérance

III. Variance et écart type

IV. Calculer avec un programme