Variables aléatoires réelles

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. On définit le gain $X$ (en euros) d'un joueur de la façon suivante :

   • si le résultat est $1$, $2$ ou $3$, le joueur gagne $0$ euro ;
   • si le résultat est $4$ ou $5$, le joueur gagne $2$ euros ;
   • si le résultat est $6$, le joueur gagne $5$ euros.

   1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
   2. Calculer l'espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$.
   Voir un indice

   Le dé étant équilibré, chaque face a une probabilité $\dfrac{1}{6}$. Regroupe les issues qui donnent le même gain. Pour la variance, utilise la formule de König-Huygens $V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$.

   Voir la correction

   1. Loi de probabilité.

   Chaque face a pour probabilité $\dfrac{1}{6}$. On regroupe :

   $$P(X=0)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2},\quad P(X=2)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3},\quad P(X=5)=\dfrac{1}{6}.$$

   $k$	$0$	$2$	$5$
   $P(X=k)$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{6}$

   Vérification : $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3+2+1}{6}=1$.

   [2mm] 2. Espérance, variance, écart type.

   $$E(X)=0\times\dfrac{1}{2}+2\times\dfrac{1}{3}+5\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{4+5}{6}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}=1{,}5.$$ $$E(X^2)=0^2\times\dfrac{1}{2}+2^2\times\dfrac{1}{3}+5^2\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{3}+\dfrac{25}{6}=\dfrac{8+25}{6}=\dfrac{33}{6}=\dfrac{11}{2}.$$ $$V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=\dfrac{11}{2}-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{22}{4}-\dfrac{9}{4}=\dfrac{13}{4}=3{,}25.$$ $$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\dfrac{13}{4}}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\approx 1{,}80.$$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau suivant, où $p$ est un réel inconnu :

   $k$	$-1$	$0$	$1$	$2$
   $P(X=k)$	$0{,}1$	$0{,}3$	$p$	$0{,}2$

   1. Déterminer la valeur de $p$.
   2. Calculer $P(X\leqslant 0)$ et $P(X\geqslant 1)$.
   3. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.
   Voir un indice

   La somme de toutes les probabilités d'une loi vaut $1$. Pour $P(X\leqslant 0)$, additionne les probabilités des valeurs inférieures ou égales à $0$.

   Voir la correction

   1. La somme des probabilités vaut $1$ :

   $$0{,}1+0{,}3+p+0{,}2=1 \;\Longleftrightarrow\; p=1-0{,}6=0{,}4.$$

   2.

   $$P(X\leqslant 0)=P(X=-1)+P(X=0)=0{,}1+0{,}3=0{,}4,$$ $$P(X\geqslant 1)=P(X=1)+P(X=2)=0{,}4+0{,}2=0{,}6.$$

   (On a bien $0{,}4+0{,}6=1$.)

   [2mm] 3.

   $$E(X)=-1\times0{,}1+0\times0{,}3+1\times0{,}4+2\times0{,}2=-0{,}1+0{,}4+0{,}4=0{,}7.$$ $$E(X^2)=(-1)^2\times0{,}1+0^2\times0{,}3+1^2\times0{,}4+2^2\times0{,}2=0{,}1+0{,}4+0{,}8=1{,}3.$$ $$V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=1{,}3-0{,}7^2=1{,}3-0{,}49=0{,}81.$$ $$\sigma(X)=\sqrt{0{,}81}=0{,}9.$$
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On note $X$ le nombre de « Pile » obtenus.

   1. Déterminer la loi de probabilité de $X$ (on pourra s'aider d'un arbre).
   2. Traduire à l'aide de la variable aléatoire $X$ l'événement : « obtenir au moins un Pile », puis calculer sa probabilité.
   3. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.
   Voir un indice

   Il y a quatre issues équiprobables : PP, PF, FP, FF. « Au moins un Pile » correspond à $\{X\geqslant 1\}$, c'est l'événement contraire de $\{X=0\}$.

   Voir la correction

   1. Les quatre issues PP, PF, FP, FF sont équiprobables, chacune de probabilité $\dfrac{1}{4}$.

   $$P(X=0)=\dfrac{1}{4}\ (\text{FF}),\quad P(X=1)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\ (\text{PF, FP}),\quad P(X=2)=\dfrac{1}{4}\ (\text{PP}).$$

   $k$	$0$	$1$	$2$
   $P(X=k)$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$

   Vérification : $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=1$.

   [2mm] 2. « Obtenir au moins un Pile » se traduit par $\{X\geqslant 1\}$. C'est l'événement contraire de $\{X=0\}$ :

   $$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.$$

   3.

   $$E(X)=0\times\dfrac{1}{4}+1\times\dfrac{1}{2}+2\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1.$$ $$E(X^2)=0\times\dfrac{1}{4}+1\times\dfrac{1}{2}+4\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}.$$ $$V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=\dfrac{3}{2}-1^2=\dfrac{1}{2},\qquad \sigma(X)=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}71.$$
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   La variable aléatoire $X$ suit la loi de probabilité suivante :

   $k$	$1$	$2$	$3$	$4$
   $P(X=k)$	$\dfrac{1}{8}$	$\dfrac{3}{8}$	$\dfrac{3}{8}$	$\dfrac{1}{8}$

   1. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.
   2. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.
   Voir un indice

   Une loi de probabilité doit vérifier : chaque probabilité est comprise entre $0$ et $1$, et leur somme vaut $1$. Réduis les fractions au même dénominateur pour les calculs.

   Voir la correction

   1. Chaque probabilité est bien dans $[0\,;1]$ et

   $$\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{8}{8}=1.$$

   C'est donc bien une loi de probabilité.

   [2mm] 2.

   $$E(X)=1\times\dfrac{1}{8}+2\times\dfrac{3}{8}+3\times\dfrac{3}{8}+4\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{1+6+9+4}{8}=\dfrac{20}{8}=\dfrac{5}{2}=2{,}5.$$ $$E(X^2)=1\times\dfrac{1}{8}+4\times\dfrac{3}{8}+9\times\dfrac{3}{8}+16\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{1+12+27+16}{8}=\dfrac{56}{8}=7.$$ $$V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=7-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=7-\dfrac{25}{4}=\dfrac{28-25}{4}=\dfrac{3}{4}=0{,}75.$$ $$\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87.$$
5. 5

   Jeu équitable et espérance

   Moyen

   Dans une fête foraine, un jeu consiste à lancer un dé équilibré à six faces. Le joueur reçoit :

   • $10$ euros si le dé affiche $6$ ;
   • $4$ euros si le dé affiche $4$ ou $5$ ;
   • rien sinon.

   Pour jouer, le joueur doit d'abord payer une mise de $m$ euros. On note $G$ le gain algébrique du joueur (ce qu'il reçoit, diminué de la mise).

   1. Déterminer la loi de probabilité de la somme $R$ reçue par le joueur, puis calculer $E(R)$.
   2. Exprimer $E(G)$ en fonction de $m$.
   3. Déterminer la mise $m$ pour que le jeu soit équitable.
   Voir un indice

   Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain algébrique est nulle : $E(G)=0$. On a $G=R-m$, donc par linéarité $E(G)=E(R)-m$.

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6. 6

   Tirages sans remise

   Moyen

   Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne. On note $X$ le nombre de boules rouges obtenues.

   1. À l'aide d'un arbre pondéré, déterminer la loi de probabilité de $X$.
   2. Calculer $E(X)$.
   3. En utilisant la formule de König-Huygens, calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$.
   Voir un indice

   Construis un arbre avec les probabilités qui changent au second tirage (tirage sans remise). $X$ peut valoir $0$, $1$ ou $2$. Rappel : $V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$.

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7. 7

   Espérance et variance d'une loi

   Moyen

   Une variable aléatoire $X$ a pour loi de probabilité :

   $k$	$0$	$1$	$2$	$3$
   $P(X=k)$	$0{,}4$	$0{,}3$	$0{,}2$	$0{,}1$

   1. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
   2. On pose $Y=3X-2$. Sans redéterminer la loi de $Y$, calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$ à l'aide des propriétés de l'espérance et de la variance.
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   Utilise les formules $E(aX+b)=aE(X)+b$ et $V(aX+b)=a^2V(X)$, puis $\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}$. Attention : le $b$ ne modifie pas la variance.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   Soit $X$ la variable aléatoire de loi :

   $k$	$1$	$2$	$3$
   $P(X=k)$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$

   Pour tout réel $x$, on définit $f(x)=E\big((X-x)^2\big)$.

   1. Calculer $E(X)$ et $E(X^2)$.
   2. Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=x^2-2E(X)\,x+E(X^2)$.
   3. En déduire la valeur de $x$ pour laquelle $f(x)$ est minimale, et la valeur de ce minimum. Que reconnaît-on ?
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   On admet la propriété suivante : pour tous réels $a$ et $b$, $V(aX+b)=a^2V(X)$. Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)=\mu$ et d'écart type $\sigma(X)=\sigma$ (avec $\sigma>0$). On définit la variable aléatoire centrée réduite

   $$Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}.$$

   1. Montrer que $E(Y)=0$.
   2. Montrer que $V(Y)=1$ (on remarquera que $Y=aX+b$ avec $a=\dfrac{1}{\sigma}$).
   3. Application : $X$ suit la loi ci-dessous. Calculer $\mu$ et $\sigma$, puis expliciter $Y$ et vérifier $E(Y)=0$ et $V(Y)=1$. | $k$ | $0$ | $1$ | $2$ | | --- | --- | --- | --- | | $P(X=k)$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{4}$ |
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