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Cours de Première

Trigonométrie

Le cercle trigonométrique, le radian, l'enroulement de la droite numérique, et les cosinus et sinus des angles remarquables.

Avant de commencer

  • •Connaître le cosinus et le sinus dans un triangle rectangle.
  • •Appliquer le théorème de Pythagore.

À la fin du chapitre, tu sais

  • •Convertir un angle entre degrés et radians.
  • •Placer le point image d'un réel sur le cercle trigonométrique.
  • •Donner les cosinus et sinus des valeurs remarquables.
  • •Utiliser les angles associés pour retrouver une valeur.
Sommaire

I. Cercle trigonométrique et radian

Mesurer un angle en degrés relève d'une convention historique : le tour complet a été découpé en 360360 parts. Une autre mesure s'impose dès qu'on fait de l'analyse, car elle relie directement l'angle à une longueur.

DéfinitionCercle trigonométrique

Le plan est muni d'un repère orthonormé d'origine OO. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre OO et de rayon 11, orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens direct.

DéfinitionRadian

Le radian est la mesure d'angle pour laquelle la longueur de l'arc intercepté sur le cercle trigonométrique est égale à la mesure de l'angle.

Le tour complet mesurant 2π2\pi de longueur, il mesure 2π2\pi radians, ce qui donne la conversion :

180∘=π radians180^\circ = \pi \text{ radians}
PropriétéConversions usuelles
degrés003030454560609090180180
radians00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}π\pi

La conversion se fait par proportionnalité : une mesure dd en degrés vaut πd180\dfrac{\pi d}{180} radians.

DéfinitionEnroulement de la droite numérique

On imagine une droite numérique tangente au cercle trigonométrique au point de coordonnées (1 ;0)(1\,;0), puis on l'enroule autour du cercle : la partie positive dans le sens direct, la partie négative dans l'autre sens.

Chaque réel xx vient alors se poser sur un point du cercle, appelé point image de xx.

PropriétéPlusieurs réels, un même point

Un tour complet ramène au même endroit. Deux réels xx et yy ont donc le même point image si et seulement si leur différence est un multiple de 2π2\pi :

y=x+2kπavec k entier relatify = x + 2k\pi \qquad \text{avec } k \text{ entier relatif}
Exemple

Les réels π3\dfrac{\pi}{3}, π3+2π=7π3\dfrac{\pi}{3}+2\pi = \dfrac{7\pi}{3} et π3−2π=−5π3\dfrac{\pi}{3}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{3} ont tous le même point image sur le cercle trigonométrique.

II. Cosinus et sinus d'un réel

DéfinitionDéfinition par les coordonnées

On note MM le point image du réel xx sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de xx est l'abscisse de MM, et le sinus de xx est son ordonnée :

M (cos⁡x ;sin⁡x)M\,(\cos x\,;\sin x)

Cette définition prolonge celle du triangle rectangle, qui ne concernait que les angles aigus.

PropriétéPremières propriétés

Pour tout réel xx :

−1⩽cos⁡x⩽1−1⩽sin⁡x⩽1cos⁡2x+sin⁡2x=1-1 \leqslant \cos x \leqslant 1 \qquad -1 \leqslant \sin x \leqslant 1 \qquad \cos^2 x + \sin^2 x = 1

La dernière égalité est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par OO, le point image et son projeté sur l'axe des abscisses.

De plus, cos⁡(x+2kπ)=cos⁡x\cos(x+2k\pi)=\cos x et sin⁡(x+2kπ)=sin⁡x\sin(x+2k\pi)=\sin x pour tout entier relatif kk.

PropriétéValeurs remarquables
xx00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
cos⁡x\cos x1132\dfrac{\sqrt{3}}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}12\dfrac{1}{2}00
sin⁡x\sin x0012\dfrac{1}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}11

La lecture est plus simple qu'il n'y paraît : les cosinus décroissent de 11 à 00 pendant que les sinus croissent de 00 à 11, et les deux lignes se lisent en miroir.

Démonstration : Valeurs en π/4\pi/4 et π/3\pi/3

Pour x=π4x=\dfrac{\pi}{4}, le point image se trouve sur la bissectrice du premier quadrant, donc son abscisse et son ordonnée sont égales : cos⁡x=sin⁡x\cos x = \sin x. En reportant dans la relation cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1 :

2cos⁡2x=1donccos⁡x=12=222\cos^2 x = 1 \qquad \text{donc} \qquad \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

la racine positive étant retenue car le point est dans le premier quadrant.

Pour x=π3x=\dfrac{\pi}{3}, notons MM le point image et AA le point de coordonnées (1 ;0)(1\,;0). Le triangle OAMOAM a deux côtés de longueur 11 et un angle de π3\dfrac{\pi}{3} entre eux, donc il est équilatéral. Son troisième côté mesure 11, et le projeté de MM sur l'axe des abscisses est le milieu de [OA][OA], d'où

cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}

La relation cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1 donne alors sin⁡2x=34\sin^2 x = \dfrac{3}{4}, donc sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

III. Angles associés

Les symétries du cercle permettent de déduire une infinité de valeurs à partir des quelques valeurs remarquables du premier quadrant. Aucune formule supplémentaire n'est à apprendre par cœur : un cercle dessiné au brouillon les redonne toutes.

PropriétéLes quatre symétries

Pour tout réel xx :

cos⁡(−x)=cos⁡xsin⁡(−x)=−sin⁡x\cos(-x)=\cos x \qquad \sin(-x)=-\sin x cos⁡(π−x)=−cos⁡xsin⁡(π−x)=sin⁡x\cos(\pi-x)=-\cos x \qquad \sin(\pi-x)=\sin x cos⁡(π+x)=−cos⁡xsin⁡(π+x)=−sin⁡x\cos(\pi+x)=-\cos x \qquad \sin(\pi+x)=-\sin x cos⁡(π2−x)=sin⁡xsin⁡(π2−x)=cos⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x
MéthodeRetrouver une valeur

Plutôt que de mémoriser ces huit égalités, il vaut mieux placer le point image sur un cercle dessiné à main levée et lire directement les coordonnées.

Par exemple, pour 2π3\dfrac{2\pi}{3}, le point image est le symétrique de celui de π3\dfrac{\pi}{3} par rapport à l'axe des ordonnées : l'abscisse change de signe, l'ordonnée reste identique, d'où

cos⁡2π3=−12sin⁡2π3=32\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2} \qquad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}
Attention

La calculatrice doit être réglée en radians pour ce chapitre. Un résultat incohérent avec le cercle vient neuf fois sur dix d'un mode « degrés » resté actif.

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