Trigonométrie

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Convertir les mesures d'angles suivantes.

   1. Convertir en radians les mesures données en degrés : $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$.
   2. Convertir en degrés les mesures données en radians : $\dfrac{\pi}{5}$, $\dfrac{2\pi}{3}$, $\dfrac{5\pi}{6}$, $\dfrac{3\pi}{2}$.
   Voir un indice

   On utilise la proportionnalité : $180^\circ$ correspond à $\pi$ radians. Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$ ; pour passer des radians aux degrés, on multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$.

   Voir la correction

   La relation fondamentale est $180^\circ = \pi \text{ rad}$, donc $1^\circ = \dfrac{\pi}{180}\text{ rad}$ et $1\text{ rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi}$.

   1. Des degrés vers les radians (on multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$) :

   $$30^\circ = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}, \qquad 45^\circ = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}, \qquad 60^\circ = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}.$$ $$90^\circ = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}, \qquad 180^\circ = \pi, \qquad 270^\circ = \frac{270\pi}{180} = \frac{3\pi}{2}.$$

   2. Des radians vers les degrés (on multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$) :

   $$\frac{\pi}{5} = \frac{180}{5} = 36^\circ, \qquad \frac{2\pi}{3} = \frac{2\times 180}{3} = 120^\circ.$$ $$\frac{5\pi}{6} = \frac{5\times 180}{6} = 150^\circ, \qquad \frac{3\pi}{2} = \frac{3\times 180}{2} = 270^\circ.$$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   On considère le cercle trigonométrique de centre $O$, muni du repère orthonormé $(O\,;\,I,\,J)$ où $I$ et $J$ sont les points de coordonnées $(1\,;\,0)$ et $(0\,;\,1)$.

   Placer sur le cercle trigonométrique les points images des réels suivants :

   $$0, \quad \frac{\pi}{2}, \quad \pi, \quad \frac{\pi}{4}, \quad \frac{2\pi}{3}, \quad -\frac{\pi}{6}, \quad \frac{7\pi}{6}, \quad -\frac{\pi}{2}.$$

   Pour chacun, préciser dans quel quadrant (ou sur quel axe) se situe le point.

   Voir un indice

   L'image d'un réel $x$ s'obtient en « enroulant » la droite réelle sur le cercle à partir de $I$, dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre) si $x>0$, et dans le sens indirect si $x<0$. Un tour complet correspond à $2\pi$.

   Voir la correction

   En partant de $I(1\,;\,0)$ et en parcourant le cercle dans le sens direct pour les réels positifs :

   • $0$ : point $I(1\,;\,0)$, sur l'axe des abscisses.
   • $\dfrac{\pi}{2}$ : quart de tour direct, point $J(0\,;\,1)$, sur l'axe des ordonnées.
   • $\pi$ : demi-tour, point $(-1\,;\,0)$, sur l'axe des abscisses.
   • $\dfrac{\pi}{4}$ : à mi-chemin entre $I$ et $J$, dans le premier quadrant.
   • $\dfrac{2\pi}{3}$ : comme $\dfrac{2\pi}{3}=120^\circ$, le point est dans le deuxième quadrant (entre $\dfrac{\pi}{2}$ et $\pi$).
   • $-\dfrac{\pi}{6}$ : on parcourt $30^\circ$ dans le sens indirect, le point est dans le quatrième quadrant.
   • $\dfrac{7\pi}{6}$ : comme $\dfrac{7\pi}{6}=210^\circ$, le point est dans le troisième quadrant (entre $\pi$ et $\dfrac{3\pi}{2}$).
   • $-\dfrac{\pi}{2}$ : quart de tour indirect, point $(0\,;\,-1)$, sur l'axe des ordonnées.
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Donner, sans calculatrice, les valeurs exactes des cosinus et sinus des réels remarquables suivants :

   $$0, \quad \frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{4}, \quad \frac{\pi}{3}, \quad \frac{\pi}{2}.$$

   Présenter les résultats dans un tableau.

   Voir un indice

   Ce sont les valeurs remarquables à connaître par cœ ur. On peut retenir l'astuce : $\cos$ vaut $\dfrac{\sqrt{4}}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{1}}{2},\dfrac{\sqrt{0}}{2}$ pour $0,\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}$, et le $\sin$ dans l'ordre inverse.

   Voir la correction

   Tableau des valeurs remarquables :

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} \\[2mm] \hline \cos x & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\[2mm] \hline \sin x & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\[2mm] \hline \end{array}$$

   On vérifie que sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$, le cosinus décroît de $1$ à $0$ et le sinus croît de $0$ à $1$, ce qui est cohérent avec la lecture des abscisses et ordonnées sur le cercle.

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Soit $x$ un réel. À l'aide du cercle trigonométrique, exprimer en fonction de $\cos x$ et $\sin x$ les quantités suivantes :

   $$\cos(-x), \quad \sin(-x), \quad \cos(\pi - x), \quad \sin(\pi - x), \quad \cos(\pi + x), \quad \sin(\pi + x).$$

   Application : sachant que $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$, en déduire $\cos\dfrac{5\pi}{6}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{6}$.

   Voir un indice

   Placer les images de $x$, $-x$, $\pi-x$ et $\pi+x$ sur le cercle : ce sont des symétriques du point image de $x$ par rapport aux axes ou à l'origine. On lit alors les nouvelles coordonnées.

   Voir la correction

   Le point image de $x$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\,\sin x)$.

   • Image de $-x$ : symétrique par rapport à l'axe des abscisses, donc coordonnées $(\cos x\,;\,-\sin x)$ : $\cos(-x) = \cos x, \qquad \sin(-x) = -\sin x.$
   • Image de $\pi - x$ : symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc $(-\cos x\,;\,\sin x)$ : $\cos(\pi - x) = -\cos x, \qquad \sin(\pi - x) = \sin x.$
   • Image de $\pi + x$ : symétrique par rapport à l'origine, donc $(-\cos x\,;\,-\sin x)$ : $\cos(\pi + x) = -\cos x, \qquad \sin(\pi + x) = -\sin x.$

   Application. On a $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$, donc

   $$\cos\frac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   De même $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$, donc

   $$\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}.$$
5. 5

   Simplification d'angles associés

   Moyen

   Simplifier au maximum l'expression suivante, où $x$ désigne un réel quelconque :

   $$A(x) = \cos(\pi - x) + \cos(\pi + x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right).$$
   Voir un indice

   Utiliser les formules des angles associés. Rappels : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \cos x$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = \cos x$.

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6. 6

   Cosinus à partir du sinus

   Moyen

   Soit $x$ un réel de l'intervalle $\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[$ tel que $\sin x = \dfrac{3}{5}$.

   1. En utilisant l'identité $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, déterminer la valeur exacte de $\cos x$. On justifiera le signe.
   2. En déduire les valeurs exactes de $\cos(\pi - x)$ et $\sin(-x)$.
   Voir un indice

   De $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ on tire deux valeurs possibles pour $\cos x$ ; le quadrant contenant l'image de $x$ impose le signe. Sur $\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[$ (deuxième quadrant), le cosinus est négatif.

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7. 7

   Longueur d'un arc de cercle

   Moyen

   Sur un cercle de rayon $R = 6$ cm, on considère un arc de cercle correspondant à un angle au centre de mesure $\alpha$.

   1. Rappeler la formule donnant la longueur $\ell$ d'un arc en fonction du rayon $R$ et de la mesure $\alpha$ (en radians) de l'angle au centre.
   2. Calculer la longueur de l'arc lorsque $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième de centimètre.
   3. Un arc de ce même cercle mesure $10$ cm. Déterminer, en radians, la mesure de l'angle au centre correspondant, puis la convertir en degrés (valeur approchée au degré près).
   Voir un indice

   La longueur d'un arc est proportionnelle à l'angle au centre : pour un angle $\alpha$ en radians, $\ell = R\,\alpha$. Un tour complet ($2\pi$) correspond au périmètre $2\pi R$.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   Le but de cet exercice est de démontrer les valeurs de $\cos\dfrac{\pi}{4}$, $\sin\dfrac{\pi}{4}$ et de $\cos\dfrac{\pi}{3}$.

   1. Cas de $\dfrac{\pi}{4}$. Soit $M$ le point image de $\dfrac{\pi}{4}$ sur le cercle trigonométrique. Expliquer pourquoi $M$ appartient à la première bissectrice, c'est-à-dire que ses coordonnées vérifient $\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4}$. En utilisant de plus l'identité $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, déterminer les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{4}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}$.
   2. Cas de $\dfrac{\pi}{3}$. On considère le triangle $OMI$ où $O$ est le centre, $I(1\,;\,0)$ et $M$ est le point image de $\dfrac{\pi}{3}$. Justifier que ce triangle est équilatéral, puis en déduire la valeur de $\cos\dfrac{\pi}{3}$. Retrouver alors $\sin\dfrac{\pi}{3}$.
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9. 9

   Méthode d'Archimède : encadrement de $\pi$

   Difficile

   Archimède approche $\pi$ en encadrant le cercle par des polygones réguliers. On considère ici un cercle de rayon $1$ (donc de circonférence $2\pi$) et on utilise un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans ce cercle.

   1. On note $P_n$ le périmètre du polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle de rayon $1$. En découpant le polygone en $n$ triangles isocèles de sommet le centre $O$, montrer que la longueur d'un côté vaut $2\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$, puis que $P_n = 2n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right).$
   2. Expliquer pourquoi $P_n < 2\pi$ pour tout $n$, et pourquoi $P_n$ constitue une valeur approchée de $2\pi$ d'autant meilleure que $n$ est grand.
   3. Application numérique : pour $n = 6$, calculer la valeur exacte de $P_6$ et en déduire une valeur approchée de $\pi$. Commenter.
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