Ascension Maths

I. Qu'est-ce qu'une suite

Une suite numérique décrit une grandeur qui évolue par étapes : une population comptée chaque année, un capital arrêté chaque mois, un motif géométrique complété étape par étape. À chaque rang correspond un nombre, et l'on cherche à décrire le passage d'un rang au suivant.

DéfinitionSuite numérique

Une suite numérique $u$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ , ou sur une partie de $\mathbb{N}$ . L'image de l'entier $n$ se note $u_n$ plutôt que $u(n)$ , et s'appelle le terme de rang $n$ .

La suite elle-même se note $(u_n)$ , avec des parenthèses : cette notation désigne la suite entière, alors que $u_n$ désigne un seul nombre.

DéfinitionDeux modes de génération

Une suite est définie explicitement lorsqu'une formule donne directement $u_n$ en fonction de $n$ , par exemple $u_n = 3n+2$ . Chaque terme se calcule alors sans connaître les précédents.

Une suite est définie par récurrence lorsqu'on donne son premier terme et une relation qui exprime chaque terme à partir du précédent, par exemple $u_0=5$ et $u_{n+1}=2u_n-1$ . Il faut alors calculer tous les termes intermédiaires pour atteindre un rang donné.

Exemple

Pour la suite définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=2u_n-1$ :

u_1 = 2 \times 5 - 1 = 9 \qquad u_2 = 2 \times 9 - 1 = 17 \qquad u_3 = 2 \times 17 - 1 = 33

Attention

Les écritures $u_{n+1}$ et $u_n+1$ n'ont rien à voir. La première désigne le terme suivant, la seconde le terme actuel augmenté de $1$ . La position du $+1$ , dans l'indice ou en dehors, change tout.

II. Suites arithmétiques

DéfinitionSuite arithmétique

Une suite $(u_n)$ est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ , appelé la raison :

u_{n+1}=u_n+r

Ce modèle décrit les évolutions à accroissement constant, par exemple un abonnement dont le prix augmente de $2$ euros chaque année.

PropriétéTerme général

Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ :

u_n = u_0 + nr

Plus généralement, pour deux rangs $n$ et $p$ : $\;u_n = u_p + (n-p)\,r$ .

Démonstration : Terme général d'une suite arithmétique

Pour passer du rang $0$ au rang $n$ , on ajoute la raison $r$ à chaque étape, et il y a exactement $n$ étapes :

u_1 = u_0+r \qquad u_2 = u_1+r = u_0+2r \qquad u_3 = u_2+r = u_0+3r

En répétant $n$ fois cet ajout, on obtient $u_n = u_0+nr$ .

PropriétéVariations

Une suite arithmétique est croissante si $r>0$ , décroissante si $r<0$ , et constante si $r=0$ . Le signe de la raison suffit donc à conclure.

Les points de coordonnées $(n\,;u_n)$ sont alignés : une suite arithmétique est le pendant discret d'une fonction affine.

Démonstration : Somme des entiers de 1 à n

Notons $S = 1+2+\cdots+n$ et écrivons cette somme deux fois, une fois dans chaque sens :

S = 1+2+\cdots+(n-1)+n

S = n+(n-1)+\cdots+2+1

En additionnant les deux lignes terme à terme, chaque couple donne $n+1$ , et il y a $n$ couples :

2S = n\,(n+1) \qquad \text{donc} \qquad S = \frac{n(n+1)}{2}

Exemple

La somme des entiers de $1$ à $100$ vaut $\dfrac{100 \times 101}{2}=5\,050$ .

III. Suites géométriques

DéfinitionSuite géométrique

Une suite $(u_n)$ est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ , appelé la raison :

u_{n+1}=q \times u_n

Ce modèle décrit les évolutions à taux constant, par exemple un capital placé à $3\,\%$ par an, pour lequel $q=1{,}03$ .

PropriétéTerme général

Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ :

u_n = u_0 \times q^n

Démonstration : Terme général d'une suite géométrique

Chaque étape multiplie par $q$ , et il y a $n$ étapes entre le rang $0$ et le rang $n$ :

u_1 = u_0 q \qquad u_2 = u_1 q = u_0q^2 \qquad u_3 = u_2 q = u_0q^3

En répétant $n$ fois cette multiplication, on obtient $u_n = u_0q^n$ .

PropriétéVariations

On considère une suite géométrique de premier terme $u_0$ strictement positif et de raison $q$ strictement positive.

Si $q>1$ , la suite est croissante. Si $0<q<1$ , elle est décroissante. Si $q=1$ , elle est constante.

Lorsque la raison est négative, les termes changent alternativement de signe et la suite n'est pas monotone.

Démonstration : Somme des puissances de q

On considère un réel $q \neq 1$ et la somme $S = 1+q+q^2+\cdots+q^n$ . Multiplions cette somme par $q$ :

qS = q+q^2+\cdots+q^n+q^{n+1}

En soustrayant la première égalité de la seconde, tous les termes intermédiaires disparaissent :

qS-S = q^{n+1}-1 \qquad \text{donc} \qquad S\,(q-1)=q^{n+1}-1

Comme $q \neq 1$ , on peut diviser :

1+q+q^2+\cdots+q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}

Exemple

La somme $1+2+4+\cdots+2^{10}$ vaut

\frac{1-2^{11}}{1-2}=2^{11}-1=2\,047

IV. Variations et limites

MéthodeÉtudier le sens de variation

Deux techniques suffisent en Première.

Le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$ : positif pour tout $n$ , la suite est croissante ; négatif, elle est décroissante.

Le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ , utilisable seulement lorsque tous les termes sont strictement positifs : un quotient supérieur à $1$ signale une suite croissante.

Exemple

Pour la suite définie par $u_n = n^2-4n$ :

u_{n+1}-u_n = \big((n+1)^2-4(n+1)\big)-\big(n^2-4n\big)=2n-3

Cette différence est négative pour $n \leqslant 1$ et positive à partir de $n = 2$ . La suite décroît donc au début, puis croît.

DéfinitionApproche intuitive de la limite

Lorsque les termes d'une suite se rapprochent d'un nombre $\ell$ à mesure que $n$ grandit, on dit que la suite tend vers $\ell$ .

Lorsque les termes dépassent tout nombre fixé à l'avance, la suite tend vers $+\infty$ .

Certaines suites ne font ni l'un ni l'autre, comme la suite de terme général $(-1)^n$ , qui alterne indéfiniment entre $-1$ et $1$ .

Remarque

En Première, ces limites se conjecturent à partir des premiers termes, calculés à la calculatrice ou par programme. Leur étude rigoureuse relève de la Terminale.

ExempleRecherche de seuil

def seuil(limite):
    u = 1000
    n = 0
    while u < limite:
        u = u * 1.03
        n = n + 1
    return n

Ce programme renvoie le nombre d'années nécessaires pour qu'un capital de $1\,000$ euros placé à $3\,\%$ dépasse la valeur demandée.

Suites numériques

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Qu'est-ce qu'une suite

II. Suites arithmétiques

III. Suites géométriques

IV. Variations et limites