Suites numériques, modèles discrets

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On considère deux suites numériques.

   1. La suite $(u_n)$ est définie de façon explicite, pour tout entier $n \geq 0$, par $u_n = n^2 - 3n + 2$. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_5$.
   2. La suite $(v_n)$ est définie par récurrence par $v_0 = 5$ et, pour tout entier $n \geq 0$, $v_{n+1} = 2v_n - 3$. Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
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   Pour une suite explicite, on remplace directement $n$ par sa valeur. Pour une suite définie par récurrence, on calcule les termes de proche en proche, chacun à partir du précédent.

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   1. On remplace $n$ par chaque valeur demandée dans $u_n = n^2 - 3n + 2$ :

   $$u_0 = 0 - 0 + 2 = 2, \qquad u_1 = 1 - 3 + 2 = 0,$$ $$u_2 = 4 - 6 + 2 = 0, \qquad u_5 = 25 - 15 + 2 = 12.$$

   2. On part de $v_0 = 5$ et on applique $v_{n+1} = 2v_n - 3$ :

   $$v_1 = 2 \times 5 - 3 = 7, \qquad v_2 = 2 \times 7 - 3 = 11, \qquad v_3 = 2 \times 11 - 3 = 19.$$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n \geq 0$ par $u_n = 5 - 3n$, et la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n \geq 0$ par $v_n = 4 \times 2^n$.

   1. Montrer que $(u_n)$ est arithmétique et préciser son premier terme et sa raison. Calculer $u_{10}$.
   2. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser son premier terme et sa raison. Calculer $v_5$.
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   Une suite est arithmétique lorsque la différence $u_{n+1} - u_n$ est constante ; elle est géométrique lorsque le quotient $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ est constant.

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   1. Pour tout entier $n \geq 0$ :

   $$u_{n+1} - u_n = \bigl(5 - 3(n+1)\bigr) - (5 - 3n) = 5 - 3n - 3 - 5 + 3n = -3.$$

   La différence est constante : $(u_n)$ est arithmétique, de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = -3$. Ainsi $u_{10} = 5 - 3 \times 10 = -25$.

   2. Pour tout entier $n \geq 0$, $v_n = 4 \times 2^n \neq 0$ et :

   $$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{4 \times 2^{n+1}}{4 \times 2^n} = 2.$$

   Le quotient est constant : $(v_n)$ est géométrique, de premier terme $v_0 = 4$ et de raison $q = 2$. Ainsi $v_5 = 4 \times 2^5 = 4 \times 32 = 128$.

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Étudier le sens de variation de chacune des suites suivantes.

   1. $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $r = 4$.
   2. $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 100$ (positif) et de raison $q = 0{,}9$.
   3. $(w_n)$ est définie pour tout entier $n \geq 0$ par $w_n = n^2 - 10n$.
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   Une suite arithmétique croît si $r > 0$, décroît si $r < 0$. Une suite géométrique à termes positifs croît si $q > 1$, décroît si $0 < q < 1$. Pour $(w_n)$, on étudie le signe de $w_{n+1} - w_n$.

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   1. La raison $r = 4$ est strictement positive, donc $(u_n)$ est strictement croissante.

   2. Les termes sont positifs et la raison $q = 0{,}9$ vérifie $0 < q < 1$, donc $(v_n)$ est strictement décroissante.

   3. Pour tout entier $n \geq 0$ :

   $$w_{n+1} - w_n = \bigl((n+1)^2 - 10(n+1)\bigr) - (n^2 - 10n) = 2n + 1 - 10 = 2n - 9.$$

   Or $2n - 9 < 0$ pour $n \leq 4$ et $2n - 9 > 0$ pour $n \geq 5$. La suite $(w_n)$ est donc décroissante de $n = 0$ jusqu'à $n = 5$, puis croissante à partir de $n = 5$ : elle n'est pas monotone.

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Calculer les sommes suivantes.

   1. $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 100$.
   2. $T = 3 + 6 + 9 + \dots + 300$.
   3. $G = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^{10}$.
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   Utiliser $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ et, pour une somme géométrique de raison $q \neq 1$, $1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

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   1. D'après la formule de la somme des premiers entiers :

   $$S = \frac{100 \times 101}{2} = 5050.$$

   2. On factorise par $3$ : $T = 3(1 + 2 + \dots + 100) = 3 \times 5050 = 15150$.

   3. Il s'agit de la somme des puissances de $2$, de $2^0$ à $2^{10}$, soit une somme géométrique de raison $q = 2$ :

   $$G = 1 + 2 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047.$$
5. 5

   Suite géométrique et décroissance

   Moyen

   En 2024, une commune compte $50\,000$ habitants. On observe que sa population diminue chaque année de $4\,\%$. On note $u_n$ le nombre d'habitants l'année $2024 + n$, de sorte que $u_0 = 50\,000$.

   1. Justifier que, pour tout entier $n \geq 0$, $u_{n+1} = 0{,}96\, u_n$. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?
   2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
   3. Déterminer la première année à partir de laquelle la population passe en dessous de $40\,000$ habitants.
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   Diminuer de $4\,\%$ revient à multiplier par $1 - 0{,}04 = 0{,}96$. Le terme général d'une suite géométrique est $u_n = u_0 \times q^n$. Pour le seuil, on peut procéder par essais successifs.

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6. 6

   Placements arithmétique et géométrique

   Moyen

   Deux personnes placent chacune $1000$ euros la même année.

   • Anaïs choisit un placement qui rapporte $80$ euros fixes chaque année. On note $a_n$ le capital d'Anaïs après $n$ années, avec $a_0 = 1000$.
   • Bruno choisit un placement rémunéré à $5\,\%$ par an. On note $b_n$ le capital de Bruno après $n$ années, avec $b_0 = 1000$.

   1. Exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$, en précisant la nature de chaque suite.
   2. Comparer les deux capitaux au bout de $10$ ans.
   3. À partir de combien d'années le placement de Bruno devient-il plus avantageux que celui d'Anaïs ?
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   Le placement d'Anaïs est à accroissement constant (suite arithmétique), celui de Bruno à taux constant (suite géométrique). Comparer $a_n$ et $b_n$ par essais successifs pour la dernière question.

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7. 7

   Rebonds et somme géométrique

   Moyen

   On lâche une balle d'une hauteur de $10$ mètres. À chaque rebond, elle remonte à $80\,\%$ de la hauteur atteinte au rebond précédent. On note $h_n$ la hauteur (en mètres) atteinte au $n$-ième rebond, avec $h_0 = 10$.

   1. Quelle est la nature de la suite $(h_n)$ ? Exprimer $h_n$ en fonction de $n$.
   2. On note $S_n = h_0 + h_1 + \dots + h_n$ la somme des hauteurs des premiers rebonds. Montrer que $S_n = 50\left(1 - 0{,}8^{\,n+1}\right)$.
   3. Calculer $S_4$. Vers quelle valeur la somme $S_n$ semble-t-elle se rapprocher lorsque $n$ devient très grand ?
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   Passer à $80\,\%$ revient à multiplier par $0{,}8$. Pour la somme, utiliser $1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ avec $q = 0{,}8$. Lorsque $0 < q < 1$, la quantité $q^{\,n+1}$ tend vers $0$.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier $n \geq 0$, $u_{n+1} = 3u_n - 4$.

   1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
   2. Déterminer le réel $\ell$ tel que $\ell = 3\ell - 4$.
   3. On pose, pour tout entier $n \geq 0$, $v_n = u_n - 2$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
   4. En déduire l'expression de $v_n$, puis celle de $u_n$, en fonction de $n$.
   5. Décrire le comportement de $u_n$ lorsque $n$ devient très grand.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   On souhaite calculer la somme des carrés des premiers entiers : $S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2$.

   1. Vérifier que, pour tout entier $k \geq 1$, $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$.
   2. En additionnant cette égalité pour $k$ allant de $1$ à $n$, justifier que $(n+1)^3 - 1 = 3S_n + 3 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + n$.
   3. En déduire que $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
   4. Calculer $1^2 + 2^2 + \dots + 20^2$.
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