Ascension Maths

I. Probabilités conditionnelles

DéfinitionProbabilité de

B

sachant

A

On considère deux évènements $A$ et $B$ , avec $P(A) \neq 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est le nombre

P_A(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}

Calculer cette probabilité revient à se restreindre à la sous-population $A$ : c'est elle qui devient le nouvel univers de référence.

PropriétéProbabilité d'une intersection

P(A \cap B)=P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A)

Cette égalité est la lecture d'un chemin dans un arbre pondéré : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Attention

Les nombres $P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont différents. Dans un dépistage, la probabilité qu'un test soit positif sachant que la personne est malade est en général élevée, alors que la probabilité qu'une personne soit malade sachant que son test est positif peut rester faible si la maladie est rare. C'est le paradoxe des faux positifs.

Exemple

Une maladie touche $1\,\%$ d'une population. Un test détecte $99\,\%$ des malades, mais donne aussi $2\,\%$ de résultats positifs chez les personnes saines.

Sur $10\,000$ personnes, on attend $100$ malades, dont $99$ testés positifs, et $9\,900$ personnes saines, dont $198$ testées positives. Parmi les $297$ tests positifs, seuls $99$ correspondent à des malades, soit une proportion d'un tiers environ.

II. Partition et probabilités totales

DéfinitionPartition de l'univers

Des évènements $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$ lorsqu'ils sont deux à deux incompatibles, tous de probabilité non nulle, et que leur réunion est l'univers entier.

Autrement dit, chaque issue appartient à un et un seul de ces évènements. Le cas le plus courant est la partition en deux évènements, $A$ et son contraire $\overline{A}$ .

ThéorèmeFormule des probabilités totales

Si les évènements $A_1, \ldots, A_n$ forment une partition de l'univers, alors pour tout évènement $B$ :

P(B)=P(A_1 \cap B)+P(A_2 \cap B)+\cdots+P(A_n \cap B)

soit, en utilisant les probabilités conditionnelles :

P(B)=P(A_1)P_{A_1}(B)+\cdots+P(A_n)P_{A_n}(B)

MéthodeLire la formule sur un arbre

La formule revient à additionner les probabilités de tous les chemins qui aboutissent à $B$ . Sur un arbre, la démarche se voit : repérer les branches terminales portant $B$ , multiplier le long de chaque chemin, puis additionner les résultats.

C'est la raison pour laquelle un arbre bien construit rend la formule presque inutile à mémoriser.

Exemple

Une usine possède deux machines. La première fabrique $60\,\%$ des pièces avec un taux de défaut de $2\,\%$ , la seconde le reste avec un taux de défaut de $5\,\%$ .

En notant $D$ l'évènement « la pièce est défectueuse » :

P(D)=0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}012+0{,}02=0{,}032

Environ $3{,}2\,\%$ des pièces produites sont défectueuses.

III. Indépendance

DéfinitionÉvènements indépendants

Deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque

P(A \cap B)=P(A) \times P(B)

Lorsque $P(A) \neq 0$ , cette condition équivaut à $P_A(B)=P(B)$ : savoir que $A$ s'est réalisé ne change rien à la probabilité de $B$ .

Attention

L'indépendance n'est pas l'incompatibilité. Deux évènements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : si l'un se réalise, l'autre devient impossible, donc l'information change tout.

MéthodeJustifier une indépendance

Deux voies existent. La première consiste à invoquer la situation : deux lancers successifs d'un dé, deux tirages avec remise, deux appareils fonctionnant séparément.

La seconde consiste à vérifier l'égalité numérique $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)$ à partir des données de l'énoncé. C'est la seule voie acceptable lorsque la question demande de démontrer l'indépendance.

Exemple

On lance un dé équilibré. Soit $A$ l'évènement « obtenir un nombre pair » et $B$ l'évènement « obtenir un multiple de $3$ ».

P(A)=\frac{1}{2} \qquad P(B)=\frac{1}{3} \qquad P(A \cap B)=P(\{6\})=\frac{1}{6}

Comme $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$ , les deux évènements sont indépendants.

IV. Répétition d'épreuves

DéfinitionÉpreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues, appelées succès et échec. La probabilité du succès se note $p$ , celle de l'échec vaut alors $1-p$ .

DéfinitionRépétition d'épreuves identiques et indépendantes

Répéter $n$ fois la même épreuve de Bernoulli, de façon indépendante, se représente par un arbre à $n$ niveaux. Chaque nœud donne deux branches, portant $p$ et $1-p$ .

Le programme se limite au cas $n \leqslant 4$ .

PropriétéCalculer avec l'arbre

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches. Un chemin comportant $k$ succès et $n-k$ échecs a donc pour probabilité

p^k\,(1-p)^{n-k}

La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès s'obtient en additionnant les probabilités de tous les chemins qui en comportent $k$ , c'est-à-dire en multipliant la valeur ci-dessus par le nombre de ces chemins.

Exemple

On lance trois fois une pièce truquée dont la probabilité de tomber sur pile vaut $0{,}7$ . Cherchons la probabilité d'obtenir exactement deux piles.

Chaque chemin comportant deux piles et un face a pour probabilité $0{,}7^2 \times 0{,}3 = 0{,}147$ . Il existe trois chemins de ce type, selon la position du face, donc

P = 3 \times 0{,}147 = 0{,}441

ExempleMéthode de Monte-Carlo

Le tirage aléatoire permet d'estimer une aire. En tirant des points au hasard dans le carré unité et en comptant ceux qui tombent sous la courbe, la proportion obtenue approche l'aire cherchée.

from random import random

def aire_sous_parabole(n):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        x = random()
        y = random()
        if y < x * x:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

Pour $n$ grand, le résultat approche $\dfrac{1}{3}$ , qui est l'aire exacte sous la parabole sur $[0\,;1]$ .

Probabilités conditionnelles et indépendance

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Probabilités conditionnelles

II. Partition et probabilités totales

III. Indépendance

IV. Répétition d'épreuves