Probabilités conditionnelles et indépendance

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Dans un lycée, $60\,\%$ des élèves sont demi-pensionnaires. Parmi les demi-pensionnaires, $30\,\%$ pratiquent une activité sportive au club de l'établissement. Parmi les élèves externes, $50\,\%$ pratiquent cette activité sportive.

   On choisit un élève au hasard. On note $D$ l'évènement « l'élève est demi-pensionnaire » et $S$ l'évènement « l'élève pratique le sport au club ».

   1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
   2. Calculer $P(D \cap S)$ et interpréter ce résultat par une phrase.
   3. Calculer la probabilité que l'élève soit externe et pratique le sport au club.
   Voir un indice

   Sur chaque branche partant d'un même nœ ud, les probabilités se somment à $1$. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

   Voir la correction

   On a $P(D)=0{,}6$ donc $P(\overline{D})=0{,}4$ (élève externe). De plus $P_D(S)=0{,}3$ et $P_{\overline{D}}(S)=0{,}5$.

   1. Arbre pondéré :

   $$\begin{array}{llll} & \overset{S\ (0{,}3)}{\nearrow} & & \\ D\ (0{,}6) & & \overset{S\ (0{,}5)}{\nearrow} & \\ \overline{D}\ (0{,}4) & & & \end{array}$$

   Depuis le nœ ud $D$ : branches $S$ ($0{,}3$) et $\overline{S}$ ($0{,}7$), somme $=1$. Depuis $\overline{D}$ : branches $S$ ($0{,}5$) et $\overline{S}$ ($0{,}5$), somme $=1$.

   2. On multiplie le long du chemin $D$ puis $S$ :

   $$P(D\cap S)=P(D)\times P_D(S)=0{,}6\times 0{,}3=0{,}18.$$

   Ainsi $18\,\%$ des élèves sont à la fois demi-pensionnaires et pratiquent le sport au club.

   3. Le chemin est $\overline{D}$ puis $S$ :

   $$P(\overline{D}\cap S)=P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(S)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}20.$$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Un sac contient des jetons de deux couleurs (rouge ou vert) et de deux formes (rond ou carré). On tire un jeton au hasard. On note :

   • $R$ : « le jeton est rouge », avec $P(R)=0{,}45$ ;
   • $C$ : « le jeton est carré ».

   On sait de plus que $P_R(C)=0{,}2$ et $P_{\overline{R}}(C)=0{,}6$.

   1. Vérifier que le système $\{R,\overline{R}\}$ est une partition de l'univers.
   2. À l'aide de la formule des probabilités totales, calculer $P(C)$.
   3. En déduire $P(\overline{C})$.
   Voir un indice

   $\{R,\overline{R}\}$ forme un système complet d'évènements. La formule des probabilités totales donne $P(C)=P(R\cap C)+P(\overline{R}\cap C)$.

   Voir la correction

   1. Les évènements $R$ et $\overline{R}$ sont incompatibles ($R\cap\overline{R}=\varnothing$) et leur réunion est l'univers ($R\cup\overline{R}=\Omega$). C'est donc une partition de l'univers.

   2. On a $P(R)=0{,}45$ et $P(\overline{R})=0{,}55$. Par la formule des probabilités totales :

   $$P(C)=P(R)\times P_R(C)+P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(C)=0{,}45\times 0{,}2+0{,}55\times 0{,}6.$$ $$P(C)=0{,}09+0{,}33=0{,}42.$$

   3. $P(\overline{C})=1-P(C)=1-0{,}42=0{,}58.$

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. On considère les évènements :

   • $A$ : « le résultat est pair » ;
   • $B$ : « le résultat est un multiple de $3$ ».

   1. Déterminer $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.
   2. Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul.
   Voir un indice

   Deux évènements sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

   Voir la correction

   1. Les résultats pairs sont $\{2,4,6\}$, donc $P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.

   Les multiples de $3$ sont $\{3,6\}$, donc $P(B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.

   L'évènement $A\cap B$ est « pair et multiple de $3$ », soit $\{6\}$, donc $P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$.

   2. On calcule

   $$P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}.$$

   Comme $P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}=P(A)\times P(B)$, les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Une enquête est menée auprès de $200$ personnes sur la possession d'un vélo et l'usage des transports en commun. Les résultats sont donnés dans le tableau croisé suivant :

   	Possède un vélo	Ne possède pas de vélo	Total
   Utilise les transports	$48$	$72$	$120$
   N'utilise pas les transports	$32$	$48$	$80$
   Total	$80$	$120$	$200$

   On choisit une personne au hasard. On note $V$ : « la personne possède un vélo » et $T$ : « la personne utilise les transports en commun ».

   1. Calculer $P(V)$, $P(T)$ et $P(V\cap T)$.
   2. Calculer $P_V(T)$.
   3. Les évènements $V$ et $T$ sont-ils indépendants ?
   Voir un indice

   Utilise les effectifs du tableau : une probabilité est un nombre de cas favorables divisé par $200$. Compare $P_V(T)$ et $P(T)$, ou $P(V\cap T)$ et $P(V)\times P(T)$.

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   1. Sur $200$ personnes :

   $$P(V)=\dfrac{80}{200}=0{,}4,\qquad P(T)=\dfrac{120}{200}=0{,}6,\qquad P(V\cap T)=\dfrac{48}{200}=0{,}24.$$

   2. Par définition de la probabilité conditionnelle :

   $$P_V(T)=\dfrac{P(V\cap T)}{P(V)}=\dfrac{0{,}24}{0{,}4}=0{,}6.$$

   On retrouve bien : parmi les $80$ possesseurs de vélo, $48$ utilisent les transports, soit $\dfrac{48}{80}=0{,}6$.

   3. On a

   $$P(V)\times P(T)=0{,}4\times 0{,}6=0{,}24=P(V\cap T).$$

   Donc $V$ et $T$ sont indépendants. On pouvait aussi remarquer que $P_V(T)=0{,}6=P(T)$.

5. 5

   Arbre pondéré et défauts

   Moyen

   Une usine fabrique des composants électroniques sur trois chaînes de production $A$, $B$ et $C$. La chaîne $A$ produit $50\,\%$ des composants, la chaîne $B$ en produit $30\,\%$ et la chaîne $C$ le reste. Le taux de composants défectueux est de $2\,\%$ pour $A$, $4\,\%$ pour $B$ et $5\,\%$ pour $C$.

   On choisit un composant au hasard dans la production totale. On note $A$, $B$, $C$ les évènements correspondant à la chaîne d'origine, et $D$ : « le composant est défectueux ».

   1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
   2. Calculer la probabilité qu'un composant provienne de $B$ et soit défectueux.
   3. Montrer que $P(D)=0{,}032$.
   4. Un composant tiré au hasard est défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne de la chaîne $A$. Arrondir au millième.
   Voir un indice

   $\{A,B,C\}$ est un système complet d'évènements : $P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)+P(C\cap D)$. Pour la dernière question, $P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}$.

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6. 6

   Test de dépistage

   Moyen

   Un test de dépistage d'une maladie est proposé à une population. On sait que $4\,\%$ de la population est réellement atteinte de la maladie. Le test est positif dans $95\,\%$ des cas lorsque la personne est malade, et il est négatif dans $90\,\%$ des cas lorsque la personne est saine.

   On note $M$ : « la personne est malade » et $T$ : « le test est positif ».

   1. Traduire les données de l'énoncé en termes de probabilités.
   2. Représenter la situation par un arbre pondéré.
   3. Calculer $P(T)$, la probabilité que le test soit positif.
   4. Une personne a un test positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ? Arrondir au millième et commenter.
   Voir un indice

   « Négatif dans $90\,\%$ des cas si la personne est saine » signifie $P_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}9$, donc $P_{\overline{M}}(T)=0{,}1$. Puis probabilités totales, puis $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}$.

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7. 7

   Épreuves de Bernoulli répétées

   Moyen

   Un basketteur réussit chacun de ses lancers francs avec une probabilité $0{,}8$, indépendamment les uns des autres. Il effectue une série de $3$ lancers francs. Pour chaque lancer, on note $R$ un lancer réussi et $E$ un lancer échoué.

   1. Justifier qu'il s'agit de la répétition de $3$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, et représenter la situation par un arbre.
   2. Calculer la probabilité qu'il réussisse ses $3$ lancers.
   3. Calculer la probabilité qu'il réussisse exactement $2$ lancers sur les $3$.
   4. Calculer la probabilité qu'il réussisse au moins $1$ lancer.
   Voir un indice

   Chaque lancer a deux issues ($R$ ou $E$) avec les mêmes probabilités, et les lancers sont indépendants. Pour « exactement $2$ réussites », compte tous les chemins de l'arbre comportant $2$ fois $R$ et $1$ fois $E$. « Au moins $1$ » se calcule par l'évènement contraire.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On répète $4$ fois de suite, de façon indépendante, une même épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est $p=0{,}3$ (et donc de probabilité d'échec $0{,}7$).

   1. Combien l'arbre de cette répétition comporte-t-il de chemins ?
   2. Dénombrer les chemins qui comportent exactement $2$ succès parmi les $4$ épreuves. On listera ces chemins.
   3. En déduire la probabilité d'obtenir exactement $2$ succès.
   4. Calculer la probabilité d'obtenir au moins $2$ succès.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   On souhaite estimer la valeur de $\pi$ par une méthode de Monte-Carlo. On considère un carré de côté $1$ (d'aire $1$) et le quart de disque de centre l'origine et de rayon $1$ inscrit dans ce carré. On tire au hasard, de façon uniforme et indépendante, un grand nombre $N$ de points dans le carré.

   1. Un point de coordonnées $(x\,;\,y)$ tiré dans le carré appartient au quart de disque lorsque $x^2+y^2\leqslant 1$. Montrer que la probabilité $p$ qu'un point tiré au hasard tombe dans le quart de disque vaut $\dfrac{\pi}{4}$.
   2. On note $k$ le nombre de points (parmi les $N$) tombés dans le quart de disque. Justifier que $\dfrac{k}{N}$ est une estimation de $p$, puis exprimer une estimation de $\pi$ en fonction de $k$ et $N$.
   3. Lors d'une simulation avec $N=10\,000$ points, on obtient $k=7\,853$ points dans le quart de disque. Donner la valeur estimée de $\pi$.
   Voir un indice

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