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Cours de Première

Géométrie repérée

Vecteur normal, équations de droites, projeté orthogonal et équations de cercles dans un repère orthonormé.

Avant de commencer

  • •Déterminer une équation de droite à partir d'un vecteur directeur.
  • •Calculer un produit scalaire en coordonnées.

À la fin du chapitre, tu sais

  • •Écrire l'équation d'une droite connaissant un point et un vecteur normal.
  • •Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite.
  • •Écrire et reconnaître une équation de cercle.
  • •Choisir un repère pour étudier une configuration géométrique.
Sommaire

I. Vecteur normal à une droite

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Une droite se décrit par la direction qu'elle suit, donnée par un vecteur directeur, mais aussi par la direction perpendiculaire, donnée par un vecteur normal. Cette seconde description simplifie beaucoup les questions d'orthogonalité.

DéfinitionVecteur normal

Un vecteur normal à une droite dd est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de dd.

PropriétéLecture sur l'équation cartésienne

La droite d'équation ax+by+c=0ax+by+c=0 admet pour vecteur normal le vecteur n⃗ (a ;b)\vec{n}\,(a\,;b), et pour vecteur directeur le vecteur u⃗ (−b ;a)\vec{u}\,(-b\,;a).

Les coefficients de l'équation se lisent donc directement comme les coordonnées d'un vecteur normal.

MéthodeÉquation à partir d'un point et d'un vecteur normal

On considère une droite passant par A (xA ;yA)A\,(x_A\,;y_A) et de vecteur normal n⃗ (a ;b)\vec{n}\,(a\,;b). Un point M (x ;y)M\,(x\,;y) appartient à cette droite si et seulement si les vecteurs AM⃗\vec{AM} et n⃗\vec{n} sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si leur produit scalaire est nul :

a (x−xA)+b (y−yA)=0a\,(x-x_A)+b\,(y-y_A)=0

Il ne reste plus qu'à développer pour obtenir la forme ax+by+c=0ax+by+c=0.

Exemple

Cherchons l'équation de la droite passant par A (2 ;1)A\,(2\,;1) et de vecteur normal n⃗ (3 ;−4)\vec{n}\,(3\,;-4) :

3(x−2)−4(y−1)=0donc3x−4y−2=03(x-2)-4(y-1)=0 \qquad \text{donc} \qquad 3x-4y-2=0
Remarque

Cette méthode donne aussi la médiatrice et la hauteur d'un triangle sans calcul de pente : la médiatrice de [AB][AB] passe par le milieu de ce segment et admet AB⃗\vec{AB} pour vecteur normal.

II. Projeté orthogonal

DéfinitionProjeté orthogonal

Le projeté orthogonal d'un point MM sur une droite dd est le point HH de dd tel que la droite (MH)(MH) soit perpendiculaire à dd. C'est le point de dd le plus proche de MM, et la distance MHMH s'appelle la distance de MM à la droite dd.

MéthodeCalculer les coordonnées du projeté

La démarche comporte trois étapes.

  1. Écrire l'équation de la droite d′d' passant par MM et perpendiculaire à dd : un vecteur directeur de dd en est un vecteur normal.
  2. Résoudre le système formé par les équations de dd et de d′d'.
  3. Le couple solution donne les coordonnées du projeté HH.
Exemple

Cherchons le projeté orthogonal de M (5 ;4)M\,(5\,;4) sur la droite dd d'équation y=2x−1y=2x-1.

Un vecteur directeur de dd est u⃗ (1 ;2)\vec{u}\,(1\,;2), qui sert de vecteur normal à la perpendiculaire. Celle-ci a donc pour équation

1(x−5)+2(y−4)=0soitx+2y−13=01(x-5)+2(y-4)=0 \qquad \text{soit} \qquad x+2y-13=0

En remplaçant yy par 2x−12x-1 :   x+2(2x−1)−13=0\;x+2(2x-1)-13=0, donc 5x=155x=15 et x=3x=3, puis y=5y=5.

Le projeté orthogonal est le point H (3 ;5)H\,(3\,;5), et la distance de MM à la droite vaut MH=4+1=5MH=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.

III. Équations de cercles

PropriétéCercle donné par son centre et son rayon

Le cercle de centre Ω (a ;b)\Omega\,(a\,;b) et de rayon rr est l'ensemble des points M (x ;y)M\,(x\,;y) tels que ΩM=r\Omega M = r, ce qui s'écrit

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Cette équation traduit simplement le calcul d'une distance, élevé au carré pour supprimer la racine.

MéthodeReconnaître une équation de cercle

Une équation développée du type x2+y2+αx+βy+γ=0x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0 peut être celle d'un cercle. Pour le vérifier, on regroupe les termes en xx d'un côté, ceux en yy de l'autre, et on complète chaque groupe en un carré.

Trois cas se présentent selon le nombre obtenu à droite : strictement positif, c'est un cercle ; nul, l'ensemble se réduit à un point ; strictement négatif, aucun point ne convient.

Exemple

Étudions l'équation x2+y2−6x+4y+9=0x^2+y^2-6x+4y+9=0. En complétant les carrés :

(x2−6x)+(y2+4y)+9=(x−3)2−9+(y+2)2−4+9(x^2-6x) + (y^2+4y) + 9 = (x-3)^2-9+(y+2)^2-4+9

L'équation devient (x−3)2+(y+2)2=4(x-3)^2+(y+2)^2=4 : il s'agit du cercle de centre Ω (3 ;−2)\Omega\,(3\,;-2) et de rayon 22.

PropriétéCercle de diamètre donné

Le cercle de diamètre [AB][AB] est l'ensemble des points MM tels que

MA⃗⋅MB⃗=0\vec{MA} \cdot \vec{MB}=0

En coordonnées, cette condition se développe directement en une équation de cercle, sans avoir à calculer le centre ni le rayon au préalable.

IV. Choisir un repère

Beaucoup de configurations géométriques se traitent plus simplement en plaçant soi-même un repère, plutôt qu'en raisonnant sur la figure.

MéthodeUn bon repère

Le choix judicieux place l'origine en un point remarquable de la figure, et fait porter les axes par des côtés perpendiculaires. Les coordonnées des points deviennent alors simples, souvent des 00 et des 11, et les calculs de distances ou de produits scalaires se réduisent à quelques lignes.

ExempleLes diagonales d'un carré

Prenons un carré ABCDABCD de côté 11, avec le repère d'origine AA porté par les côtés [AB][AB] et [AD][AD]. Les sommets ont alors pour coordonnées A (0 ;0)A\,(0\,;0), B (1 ;0)B\,(1\,;0), C (1 ;1)C\,(1\,;1) et D (0 ;1)D\,(0\,;1).

Les diagonales correspondent aux vecteurs AC⃗ (1 ;1)\vec{AC}\,(1\,;1) et BD⃗ (−1 ;1)\vec{BD}\,(-1\,;1), dont le produit scalaire vaut

1×(−1)+1×1=01 \times (-1) + 1 \times 1 = 0

Les diagonales d'un carré sont donc perpendiculaires, et la démonstration tient en trois lignes.

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