Chapitres de Première

Géométrie repérée

1
Exercice 1
Facile
Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ . Déterminer une équation cartésienne de la droite $\mathcal{D}$ passant par le point $A(3\,;-1)$ et admettant le vecteur $\vec{n}(2\,;5)$ pour vecteur normal.
Voir un indice
Un vecteur $\vec{n}(a\,;b)$ est normal à une droite d'équation $ax+by+c=0$ . Il reste à déterminer $c$ en écrivant que $A$ appartient à la droite.
Voir la correction
Comme $\vec{n}(2\,;5)$ est normal à $\mathcal{D}$ , cette droite admet une équation de la forme
$2x+5y+c=0.$
Le point $A(3\,;-1)$ appartient à $\mathcal{D}$ , donc ses coordonnées vérifient l'équation :
$2\times 3 + 5\times(-1) + c = 0 \iff 6-5+c=0 \iff c=-1.$
Une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est donc
$2x+5y-1=0.$
Vérification : $2\times 3+5\times(-1)-1 = 6-5-1 = 0$ . Le point $A$ appartient bien à $\mathcal{D}$ .
2
Exercice 2
Facile
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
1. Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(-2\,;3)$ et de rayon $r=4$ .
2. Le point $B(2\,;3)$ appartient-il à $\mathcal{C}$ ? Et le point $E(0\,;0)$ ?
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Le cercle de centre $\Omega(a\,;b)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ . Pour tester un point, on remplace $x$ et $y$ par ses coordonnées.
Voir la correction
1. Le cercle de centre $\Omega(-2\,;3)$ et de rayon $r=4$ a pour équation
$(x-(-2))^2+(y-3)^2=4^2, \quad\text{c'est-à-dire}\quad (x+2)^2+(y-3)^2=16.$
2. Pour $B(2\,;3)$ :
$(2+2)^2+(3-3)^2 = 4^2+0^2 = 16.$
L'égalité est vérifiée, donc $B$ appartient à $\mathcal{C}$ .

Pour $E(0\,;0)$ :
$(0+2)^2+(0-3)^2 = 4+9 = 13 \neq 16.$
L'égalité n'est pas vérifiée, donc $E$ n'appartient pas à $\mathcal{C}$ .
3
Exercice 3
Facile
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M(x\,;y)$ vérifiant
$x^2+y^2-6x+4y-3=0.$
Montrer que $\mathcal{C}$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
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Regrouper les termes en $x$ et les termes en $y$ , puis compléter chaque carré : $x^2-6x=(x-3)^2-9$ et $y^2+4y=(y+2)^2-4$ .
Voir la correction
On part de $x^2+y^2-6x+4y-3=0$ et on complète les carrés.

Pour les termes en $x$ : $x^2-6x=(x-3)^2-9$ .

Pour les termes en $y$ : $y^2+4y=(y+2)^2-4$ .

L'équation devient :
$(x-3)^2-9+(y+2)^2-4-3=0,$
soit
$(x-3)^2+(y+2)^2=16.$
On reconnaît l'équation d'un cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(3\,;-2)$ et de rayon
$r=\sqrt{16}=4.$
4
Exercice 4
Facile
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x-2y+2=0$ et le point $A(5\,;3)$ . Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur la droite $\mathcal{D}$ .
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Le vecteur $\vec{n}(1\,;-2)$ est normal à $\mathcal{D}$ . Le point $H$ est l'intersection de $\mathcal{D}$ avec la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{n}$ . Écrire $H=A+t\,\vec{n}$ puis reporter dans l'équation de $\mathcal{D}$ .
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Un vecteur normal à $\mathcal{D}$ est $\vec{n}(1\,;-2)$ . Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathcal{D}$ est le point de $\mathcal{D}$ tel que $\overrightarrow{AH}$ soit colinéaire à $\vec{n}$ .

On cherche $H$ sous la forme $H=A+t\,\vec{n}$ , c'est-à-dire
$H\,(5+t\,;\,3-2t).$
Comme $H\in\mathcal{D}$ , ses coordonnées vérifient $x-2y+2=0$ :
$(5+t)-2(3-2t)+2=0 \iff 5+t-6+4t+2=0 \iff 5t+1=0 \iff t=-\frac{1}{5}.$
On en déduit
$x_H=5-\frac{1}{5}=\frac{24}{5}, \qquad y_H=3+\frac{2}{5}=\frac{17}{5}.$
Donc $H\left(\dfrac{24}{5}\,;\dfrac{17}{5}\right)$ .
5
Tangente à un cercle
Moyen
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(1\,;2)$ et de rayon $r=5$ , ainsi que le point $A(4\,;6)$ .
1. Vérifier que le point $A$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ .
2. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point $A$ .
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La tangente à un cercle en un point $A$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire au rayon $[\Omega A]$ . Le vecteur $\overrightarrow{\Omega A}$ est donc un vecteur normal de la tangente.
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6
Projeté orthogonal et distance
Moyen
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $3x+4y-12=0$ et le point $A(3\,;4)$ .
1. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathcal{D}$ .
2. En déduire la distance du point $A$ à la droite $\mathcal{D}$ .
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Un vecteur normal de $\mathcal{D}$ est $\vec{n}(3\,;4)$ . Chercher $H$ sous la forme $H=A+t\,\vec{n}$ , reporter dans l'équation de $\mathcal{D}$ , puis calculer $AH$ .
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7
Intersection cercle et droite
Moyen
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $(x-2)^2+(y-1)^2=10$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x-1$ . Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{D}$ .
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Reporter l'expression $y=x-1$ dans l'équation du cercle pour obtenir une équation du second degré en $x$ . Résoudre, puis calculer les ordonnées correspondantes.
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8
Exercice 8
Difficile
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère le point $F(0\,;2)$ et l'axe des abscisses $\mathcal{D}$ (d'équation $y=0$ ). Déterminer et caractériser l'ensemble $\mathcal{P}$ des points $M(x\,;y)$ équidistants du point $F$ et de la droite $\mathcal{D}$ , c'est-à-dire tels que $MF=d(M,\mathcal{D})$ .
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9
Exercice 9
Difficile
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2-2x+1$ et le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $x^2+y^2=1$ .
1. Déterminer les points d'intersection de $\mathcal{P}$ et de la droite d'équation $y=1$ .
2. Déterminer les points d'intersection de $\mathcal{P}$ et du cercle $\mathcal{C}$ .
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Géométrie repérée

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Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Tangente à un cercle

Projeté orthogonal et distance

Intersection cercle et droite

Exercice 8

Exercice 9