Ascension Maths

I. Une fonction définie par sa dérivée

Les fonctions rencontrées jusqu'ici étaient données par une formule de calcul. L'exponentielle est introduite autrement : par la propriété qu'elle doit vérifier, à savoir être égale à sa propre dérivée.

DéfinitionLa fonction exponentielle

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que

f'=f \qquad \text{et} \qquad f(0)=1

Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et se note $\exp$ . Son existence et son unicité sont admises.

Remarque

L'égalité $f'=f$ signifie qu'à chaque instant, la vitesse de croissance de la fonction est égale à sa valeur. C'est exactement ce qui se passe pour un capital dont les intérêts s'ajoutent en continu, ou pour une population dont la natalité est proportionnelle à l'effectif.

PropriétéRelation fonctionnelle

Pour tous réels $x$ et $y$ :

\exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y) \qquad \text{et} \qquad \exp(x)\times\exp(-x)=1

L'exponentielle transforme donc les sommes en produits. En particulier, elle ne s'annule jamais, puisqu'un produit valant $1$ interdit à chacun de ses facteurs d'être nul.

DéfinitionLe nombre e et la notation puissance

Le nombre $\exp(1)$ se note $\text{e}$ . Sa valeur approchée est $2{,}718$ .

La relation fonctionnelle donne $\exp(n)=\text{e}^n$ pour tout entier $n$ , ce qui justifie la notation

\exp(x)=\text{e}^x

utilisée dans tout le reste du programme.

II. Propriétés algébriques

PropriétéRègles de calcul

Pour tous réels $x$ et $y$ , et tout entier relatif $n$ :

\text{e}^{x+y}=\text{e}^x\,\text{e}^y \qquad \text{e}^{-x}=\frac{1}{\text{e}^x} \qquad \text{e}^{x-y}=\frac{\text{e}^x}{\text{e}^y} \qquad \left(\text{e}^x\right)^n=\text{e}^{nx}

Ce sont les règles des puissances, ce qui explique le choix de la notation.

Exemple

Simplifions l'expression $\dfrac{\text{e}^{3x} \times \text{e}^{-x}}{\text{e}^{x+1}}$ :

\frac{\text{e}^{3x} \times \text{e}^{-x}}{\text{e}^{x+1}} = \frac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{x+1}} = \text{e}^{2x-(x+1)} = \text{e}^{x-1}

PropriétéSigne et variations

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : pour tout réel $x$ , on a $\text{e}^x>0$ .

Elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , puisque sa dérivée est elle-même, donc positive.

Sa courbe passe par le point de coordonnées $(0\,;1)$ , s'écrase vers l'axe des abscisses quand $x$ devient très négatif, et croît très rapidement quand $x$ augmente.

PropriétéRésolution d'équations et d'inéquations

La stricte croissance de l'exponentielle donne, pour tous réels $a$ et $b$ :

\text{e}^a=\text{e}^b \iff a=b \qquad \text{et} \qquad \text{e}^a<\text{e}^b \iff a<b

Résoudre une équation ou une inéquation portant sur des exponentielles revient donc à travailler sur les exposants.

Attention

L'écriture $\text{e}^{x} + \text{e}^{y}$ ne se simplifie pas. Seuls les produits et les quotients se ramènent à une somme ou une différence d'exposants, jamais les sommes.

III. Dérivation

PropriétéDérivée des fonctions exponentielles

La fonction $x \mapsto \text{e}^x$ a pour dérivée elle-même.

Pour un réel $a$ fixé, la fonction $t \mapsto \text{e}^{at}$ a pour dérivée $t \mapsto a\,\text{e}^{at}$ .

Exemple

La fonction $f$ définie par $f(t)=5\,\text{e}^{-0{,}2t}$ a pour dérivée

f'(t)=5 \times (-0{,}2)\,\text{e}^{-0{,}2t}=-\,\text{e}^{-0{,}2t}

Cette dérivée est strictement négative, donc la fonction est décroissante : c'est le profil typique d'une décroissance exponentielle.

MéthodeDériver un produit contenant une exponentielle

Les formules d'opérations restent valables. Pour la fonction définie par $f(x)=x\,\text{e}^x$ , on pose $u(x)=x$ et $v(x)=\text{e}^x$ , d'où $u'(x)=1$ et $v'(x)=\text{e}^x$ , et

f'(x)=1 \times \text{e}^x + x \times \text{e}^x = (1+x)\,\text{e}^x

Comme l'exponentielle est toujours strictement positive, le signe de la dérivée est celui de $1+x$ : la fonction décroît sur $]-\infty\,;-1]$ puis croît sur $[-1\,;+\infty[$ .

Remarque

Ce réflexe revient dans presque tous les exercices : après avoir factorisé la dérivée, le facteur exponentiel se met de côté, car son signe est connu. Seul le reste demande une étude.

IV. Modéliser une évolution

PropriétéLien avec les suites géométriques

Pour un réel $a$ , la suite de terme général $\text{e}^{an}$ est géométrique de raison $\text{e}^a$ , puisque

\text{e}^{a(n+1)}=\text{e}^{an}\times\text{e}^{a}

Une suite géométrique est ainsi le pendant discret d'une fonction exponentielle : l'une décrit une évolution mesurée à intervalles réguliers, l'autre la même évolution suivie en continu.

ExempleDécroissance radioactive

La masse d'un échantillon radioactif suit une loi du type $m(t)=m_0\,\text{e}^{-kt}$ , où $m_0$ est la masse initiale et $k$ un réel strictement positif propre au matériau.

La dérivée vaut $m'(t)=-k\,m_0\,\text{e}^{-kt}=-k\,m(t)$ : la vitesse de désintégration est proportionnelle à la masse restante, ce qui est exactement l'hypothèse physique du modèle.

ExempleCapitalisation

Un capital de $1\,000$ euros placé au taux annuel de $3\,\%$ vaut $1\,000 \times 1{,}03^n$ euros au bout de $n$ années. En modélisant l'évolution en continu, on écrit plutôt $1\,000\,\text{e}^{0{,}0296\,t}$ , les deux modèles donnant des valeurs très proches aux dates entières.

Fonction exponentielle

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Une fonction définie par sa dérivée

II. Propriétés algébriques

III. Dérivation

IV. Modéliser une évolution