Ascension Maths
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Chapitres de Première

Fonction exponentielle

  1. 1

    Exercice 1

    Facile

    Simplifier au maximum chacune des expressions suivantes, en les écrivant sous la forme ea\mathrm{e}^{a} avec aa le plus simple possible.

    1. A=e3×e−5A = \mathrm{e}^{3}\times \mathrm{e}^{-5}
    2. B=e7e2B = \dfrac{\mathrm{e}^{7}}{\mathrm{e}^{2}}
    3. C=(e2)4×e−1C = \left(\mathrm{e}^{2}\right)^{4}\times \mathrm{e}^{-1}
    4. D=ex×e2xe−xD = \dfrac{\mathrm{e}^{x}\times \mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{-x}} pour xx réel.
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    Utilise les règles ea×eb=ea+b\mathrm{e}^{a}\times \mathrm{e}^{b}=\mathrm{e}^{a+b}, eaeb=ea−b\dfrac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}}=\mathrm{e}^{a-b} et (ea)n=ena\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n}=\mathrm{e}^{na}.

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    1. A=e3×e−5=e3+(−5)=e−2A = \mathrm{e}^{3}\times \mathrm{e}^{-5}=\mathrm{e}^{3+(-5)}=\mathrm{e}^{-2}.
    2. B=e7e2=e7−2=e5B = \dfrac{\mathrm{e}^{7}}{\mathrm{e}^{2}}=\mathrm{e}^{7-2}=\mathrm{e}^{5}.
    3. C=(e2)4×e−1=e8×e−1=e8−1=e7C = \left(\mathrm{e}^{2}\right)^{4}\times \mathrm{e}^{-1}=\mathrm{e}^{8}\times \mathrm{e}^{-1}=\mathrm{e}^{8-1}=\mathrm{e}^{7}.
    4. D=ex×e2xe−x=e3xe−x=e3x−(−x)=e4xD = \dfrac{\mathrm{e}^{x}\times \mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{-x}}=\dfrac{\mathrm{e}^{3x}}{\mathrm{e}^{-x}}=\mathrm{e}^{3x-(-x)}=\mathrm{e}^{4x}.
  2. 2

    Exercice 2

    Facile

    On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par

    f(x)=e2x+1ex.f(x)=\frac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{x}}.
    1. Montrer que, pour tout réel xx, f(x)=ex+e−xf(x)=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}.
    2. En déduire que f(x)>0f(x)>0 pour tout réel xx.
    3. Calculer f(0)f(0).
    Voir un indice

    Sépare la fraction en deux quotients, puis simplifie chacun. Rappelle-toi que ex>0\mathrm{e}^{x}>0 pour tout xx.

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    1. Pour tout réel xx : f(x)=e2x+1ex=e2xex+1ex=e2x−x+e−x=ex+e−x.f(x)=\frac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{x}}=\frac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{x}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}=\mathrm{e}^{2x-x}+\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}.
    2. La fonction exponentielle est strictement positive sur R\mathbb{R}, donc ex>0\mathrm{e}^{x}>0 et e−x>0\mathrm{e}^{-x}>0. La somme de deux nombres strictement positifs est strictement positive, donc f(x)>0f(x)>0.
    3. f(0)=e0+e0=1+1=2f(0)=\mathrm{e}^{0}+\mathrm{e}^{0}=1+1=2.
  3. 3

    Exercice 3

    Facile

    Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur R\mathbb{R}.

    1. f(x)=e3xf(x)=\mathrm{e}^{3x}
    2. g(x)=e−2xg(x)=\mathrm{e}^{-2x}
    3. h(x)=5 e−x+2xh(x)=5\,\mathrm{e}^{-x}+2x
    4. k(x)=x exk(x)=x\,\mathrm{e}^{x}
    Voir un indice

    Pour aa réel, la dérivée de t↦eatt\mapsto \mathrm{e}^{at} est t↦a eatt\mapsto a\,\mathrm{e}^{at}. Pour kk, utilise la formule de dérivée d'un produit (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'.

    Voir la correction
    1. f′(x)=3 e3xf'(x)=3\,\mathrm{e}^{3x} (ici a=3a=3).
    2. g′(x)=−2 e−2xg'(x)=-2\,\mathrm{e}^{-2x} (ici a=−2a=-2).
    3. h′(x)=5×(−1) e−x+2=−5 e−x+2h'(x)=5\times(-1)\,\mathrm{e}^{-x}+2=-5\,\mathrm{e}^{-x}+2.
    4. Avec u(x)=xu(x)=x et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^{x}, on a u′(x)=1u'(x)=1 et v′(x)=exv'(x)=\mathrm{e}^{x}, donc k′(x)=1×ex+x×ex=(1+x) ex.k'(x)=1\times \mathrm{e}^{x}+x\times \mathrm{e}^{x}=(1+x)\,\mathrm{e}^{x}.
  4. 4

    Exercice 4

    Facile

    Résoudre dans R\mathbb{R} les équations et inéquations suivantes, sans utiliser de logarithme, en se ramenant à une même exponentielle.

    1. e2x=e6\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{6}
    2. ex+1=e3x−5\mathrm{e}^{x+1}=\mathrm{e}^{3x-5}
    3. ex2=e4\mathrm{e}^{x^{2}}=\mathrm{e}^{4}
    4. e3x⩽e12\mathrm{e}^{3x}\leqslant \mathrm{e}^{12}
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    La fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R}, donc ea=eb\mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b} équivaut à a=ba=b, et ea⩽eb\mathrm{e}^{a}\leqslant \mathrm{e}^{b} équivaut à a⩽ba\leqslant b.

    Voir la correction
    1. e2x=e6  ⟺  2x=6  ⟺  x=3\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{6}\iff 2x=6\iff x=3. Solution : S={3}S=\{3\}.
    2. ex+1=e3x−5  ⟺  x+1=3x−5  ⟺  6=2x  ⟺  x=3\mathrm{e}^{x+1}=\mathrm{e}^{3x-5}\iff x+1=3x-5\iff 6=2x\iff x=3. Solution : S={3}S=\{3\}.
    3. ex2=e4  ⟺  x2=4  ⟺  x=2 ou x=−2\mathrm{e}^{x^{2}}=\mathrm{e}^{4}\iff x^{2}=4\iff x=2 \text{ ou } x=-2. Solution : S={−2 ; 2}S=\{-2\,;\,2\}.
    4. Comme l'exponentielle est strictement croissante, e3x⩽e12  ⟺  3x⩽12  ⟺  x⩽4\mathrm{e}^{3x}\leqslant \mathrm{e}^{12}\iff 3x\leqslant 12\iff x\leqslant 4. Solution : S= ]−∞ ; 4]S=\,]-\infty\,;\,4].
  5. 5

    Étude de (x−1)ex(x-1)\mathrm{e}^x

    Moyen

    On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par

    f(x)=(x−1) ex.f(x)=(x-1)\,\mathrm{e}^{x}.

    On note C\mathcal{C} sa courbe représentative.

    1. Calculer f′(x)f'(x) pour tout réel xx.
    2. Étudier le signe de f′(x)f'(x) et dresser le tableau de variations de ff.
    3. Déterminer une équation de la tangente TT à C\mathcal{C} au point d'abscisse 00.
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    Dérive le produit avec u(x)=x−1u(x)=x-1 et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^{x}. Rappelle-toi que ex>0\mathrm{e}^{x}>0, donc le signe de f′f' ne dépend que de l'autre facteur. La tangente en 00 a pour équation y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'(0)(x-0)+f(0).

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  6. 6

    Croissance continue d'un capital

    Moyen

    Un capital de 20002000 euros est placé sur un compte avec un taux de croissance continu de 3 %3\,\% par an. On modélise le capital, en euros, au bout de tt années par la fonction

    C(t)=2000 e0,03 t.C(t)=2000\,\mathrm{e}^{0{,}03\,t}.
    1. Déterminer le capital initial, c'est-à-dire C(0)C(0).
    2. Calculer C′(t)C'(t) et en déduire le sens de variation de CC sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.
    3. Donner une valeur approchée du capital au bout de 1010 ans (on prendra e0,3≈1,350\mathrm{e}^{0{,}3}\approx 1{,}350).
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    C(0)C(0) s'obtient en remplaçant tt par 00. Pour la dérivée, CC est de la forme t↦A eatt\mapsto A\,\mathrm{e}^{at} avec a=0,03a=0{,}03 : sa dérivée est t↦A a eatt\mapsto A\,a\,\mathrm{e}^{at}.

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  7. 7

    Désintégration radioactive

    Moyen

    La désintégration d'un échantillon radioactif est modélisée par la fonction NN qui, au temps tt (en années), associe le nombre de noyaux restants :

    N(t)=N0 e−kt,N(t)=N_{0}\,\mathrm{e}^{-k t},

    où N0=106N_{0}=10^{6} est le nombre initial de noyaux et k=0,05k=0{,}05 (constante strictement positive).

    1. Justifier que NN est strictement décroissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.
    2. Calculer N′(t)N'(t).
    3. Donner une valeur approchée du nombre de noyaux restants au bout de 2020 ans (on prendra e−1≈0,368\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368).
    4. Représenter l'allure de la courbe de NN sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.
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    La dérivée de t↦e−ktt\mapsto \mathrm{e}^{-kt} est t↦−k e−ktt\mapsto -k\,\mathrm{e}^{-kt}. Comme k>0k>0, la courbe de NN est décroissante, part de N0N_0 en t=0t=0 et se rapproche de l'axe des abscisses.

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  8. 8

    Exercice 8

    Difficile

    Le but de cet exercice est de démontrer la relation fonctionnelle

    exp⁡(x+y)=exp⁡(x)exp⁡(y)pour tous reˊels x et y.\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\quad\text{pour tous réels } x \text{ et } y.

    On rappelle que la fonction exp⁡\exp est l'unique fonction dérivable sur R\mathbb{R} vérifiant exp⁡′=exp⁡\exp'=\exp et exp⁡(0)=1\exp(0)=1, et qu'elle ne s'annule jamais.

    Soit yy un réel fixé. On définit sur R\mathbb{R} la fonction

    g(x)=exp⁡(x+y)exp⁡(x).g(x)=\frac{\exp(x+y)}{\exp(x)}.
    1. Justifier que gg est bien définie sur R\mathbb{R}.
    2. Calculer g′(x)g'(x) et montrer que g′(x)=0g'(x)=0 pour tout réel xx.
    3. En déduire que gg est constante, puis calculer g(0)g(0).
    4. Conclure que exp⁡(x+y)=exp⁡(x)exp⁡(y)\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y).
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  9. 9

    Exercice 9

    Difficile

    On s'intéresse à la suite (un)(u_{n}) définie pour tout entier n⩾1n\geqslant 1 par

    un=(1+1n)n,u_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n},

    dont on admet qu'elle s'approche du nombre e\mathrm{e} lorsque nn devient grand.

    1. Calculer u1u_{1}, u2u_{2} et u4u_{4} (valeurs exactes puis approchées à 10−310^{-3} près).
    2. Calculer u10u_{10} à 10−310^{-3} près et comparer à la valeur e≈2,718\mathrm{e}\approx 2{,}718.
    3. On considère par ailleurs la méthode d'Euler appliquée à la fonction ff vérifiant f′=ff'=f et f(0)=1f(0)=1, avec un pas h=0,5h=0{,}5. En utilisant l'approximation f(x+h)≈f(x)+h f′(x)=f(x)+h f(x)f(x+h)\approx f(x)+h\,f'(x)=f(x)+h\,f(x), calculer les valeurs approchées f(0,5)f(0{,}5) et f(1)f(1) obtenues par cette méthode. Comparer à e\mathrm{e}.
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