Ascension Maths

I. Simuler une variable aléatoire

Une simulation remplace l'expérience réelle par un programme qui produit des résultats obéissant à la même loi. Elle permet d'observer, sur des milliers de répétitions, ce qu'une poignée de lancers ne montrerait pas.

ExempleSimuler un lancer de dé

from random import randint

def lancer():
    return randint(1, 6)

La variable aléatoire simulée prend les valeurs de $1$ à $6$ , chacune avec la probabilité $\dfrac{1}{6}$ . Son espérance vaut $3{,}5$ .

ExempleSimuler une loi donnée par un tableau

Pour une variable prenant les valeurs $-2$ , $1$ et $5$ avec les probabilités $\dfrac{4}{6}$ , $\dfrac{1}{6}$ et $\dfrac{1}{6}$ :

from random import random

def gain():
    r = random()
    if r < 4 / 6:
        return -2
    elif r < 5 / 6:
        return 1
    else:
        return 5

Le principe consiste à découper l'intervalle $[0\,;1[$ en morceaux dont les longueurs sont les probabilités voulues.

II. Moyenne d'un échantillon

DéfinitionÉchantillon et moyenne observée

Un échantillon de taille $n$ est la liste des résultats de $n$ répétitions indépendantes de la même expérience. Sa moyenne, notée $m$ , est la moyenne de ces $n$ valeurs.

Cette moyenne est elle-même aléatoire : deux échantillons donnent deux moyennes différentes.

ExempleMoyenne d'un échantillon

def echantillon(n):
    return [lancer() for i in range(n)]

def moyenne(L):
    return sum(L) / len(L)

L'appel moyenne(echantillon(10)) donne une valeur qui change à chaque exécution, parfois assez éloignée de $3{,}5$ .

PropriétéCe que l'on observe

Lorsque la taille $n$ augmente, deux phénomènes apparaissent.

La moyenne observée se rapproche de l'espérance de la variable simulée.

Les moyennes de plusieurs échantillons de même taille se resserrent les unes contre les autres : leur dispersion diminue.

Remarque

Ces observations prolongent la loi des grands nombres vue en Seconde sur les fréquences. Une fréquence est d'ailleurs un cas particulier de moyenne, celle d'une variable qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon.

III. Mesurer l'écart à l'espérance

L'objectif du programme est de percevoir avec quelle précision la moyenne d'un échantillon estime l'espérance. La quantité qui gouverne cette précision fait intervenir l'écart type de la variable et la taille de l'échantillon.

PropriétéLa quantité à observer

On considère une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$ , et un échantillon de taille $n$ dont la moyenne vaut $m$ . La quantité observée est

\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}

Sur des simulations répétées, l'écart $|m-\mu|$ reste inférieur ou égal à cette valeur dans la grande majorité des cas.

ExempleCompter les échantillons proches

from math import sqrt

def proportion_proche(N, n, mu, sigma):
    compteur = 0
    seuil = 2 * sigma / sqrt(n)
    for i in range(N):
        m = moyenne(echantillon(n))
        if abs(m - mu) <= seuil:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / N

Pour le dé équilibré, avec $\mu = 3{,}5$ et $\sigma \approx 1{,}71$ , l'appel proportion_proche(1000, 50, 3.5, 1.71) renvoie une proportion voisine de $0{,}95$ .

Remarque

Le seuil décroît comme $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ , et non comme $\dfrac{1}{n}$ . Diviser l'incertitude par deux demande donc de multiplier la taille de l'échantillon par quatre, ce qui explique le coût des sondages précis.

Attention

Une simulation ne démontre rien, elle donne à voir. Les résultats obtenus varient d'une exécution à l'autre, et la conclusion attendue reste une observation, formulée comme telle.

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9 exercices corrigés sur ce chapitre.

Expérimentations et échantillons

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Simuler une variable aléatoire

II. Moyenne d'un échantillon

III. Mesurer l'écart à l'espérance