Chapitres de Première

Expérimentations

1
Exercice 1
Facile
On souhaite simuler le lancer d'un dé équilibré à six faces à l'aide du module random de Python.
1. Écrire une instruction Python qui renvoie un entier aléatoire compris entre 1 et 6 (bornes incluses).
2. Écrire une fonction lancer_de() qui renvoie le résultat d'un lancer.
3. Écrire un programme qui simule 10 lancers et affiche la liste des résultats obtenus.
Voir un indice
La fonction randint(a, b) du module random renvoie un entier aléatoire entre $a$ et $b$ inclus. Pour répéter une opération, on utilise une boucle for.
Voir la correction
1. L'instruction random.randint(1, 6) renvoie un entier au hasard entre 1 et 6 inclus.
2. On définit la fonction :
```
from random import randint

def lancer_de():
    return randint(1, 6)
```
1. On répète 10 fois l'appel :
```
resultats = []
for i in range(10):
    resultats.append(lancer_de())
print(resultats)
```
Chaque exécution donne une liste différente, par exemple [3, 6, 1, 4, 4, 2, 5, 1, 6, 3].
2
Exercice 2
Facile
On lance une pièce équilibrée. On code Pile par 1 et Face par 0.
1. Écrire une fonction piece() renvoyant 0 ou 1 avec la même probabilité.
2. On simule $n = 1000$ lancers. Écrire un programme qui compte le nombre de Pile obtenus et affiche la proportion de Pile.
3. Vers quelle valeur cette proportion doit-elle se rapprocher lorsque $n$ est grand ? Justifier.
Voir un indice
Utiliser randint(0, 1). La proportion se calcule comme le nombre de Pile divisé par le nombre total de lancers.
Voir la correction
```
from random import randint

def piece():
    return randint(0, 1)
```
```
n = 1000
nb_pile = 0
for i in range(n):
    if piece() == 1:
        nb_pile += 1
print(nb_pile / n)
```
1. La pièce étant équilibrée, la probabilité d'obtenir Pile est $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ . D'après le principe de stabilisation des fréquences, la proportion observée se rapproche de $0{,}5$ lorsque $n$ devient grand.
3
Exercice 3
Facile
On dispose de la liste des résultats d'un échantillon de simulations :
$\text{echantillon} = [4,\ 2,\ 6,\ 3,\ 5,\ 1,\ 4,\ 3].$
1. Calculer à la main la moyenne $m$ de cet échantillon.
2. Écrire une fonction Python moyenne(L) qui prend en argument une liste L de nombres et renvoie leur moyenne.
3. Vérifier que moyenne(echantillon) donne bien le résultat de la question 1.
Voir un indice
La moyenne est la somme des valeurs divisée par leur nombre. En Python, sum(L) donne la somme et len(L) le nombre d'éléments de L.
Voir la correction
1. La somme vaut $4+2+6+3+5+1+4+3 = 28$ et il y a 8 valeurs. Donc $m = \dfrac{28}{8} = 3{,}5.$
```
def moyenne(L):
    return sum(L) / len(L)
```
1. moyenne([4, 2, 6, 3, 5, 1, 4, 3]) renvoie $\dfrac{28}{8} = 3{,}5$ , ce qui confirme le calcul.
4
Exercice 4
Facile
On considère la fonction Python suivante, censée simuler un échantillon de $n$ lancers de dé et en renvoyer la moyenne.
```
from random import randint

def moyenne_echantillon(n):
    total = 0
    for i in range(n):
        total = total + randint(1, 6)
    return total / n
```
1. Expliquer le rôle de la variable total et de la boucle for.
2. Que renvoie moyenne_echantillon(1000) environ ? Justifier.
3. Modifier la fonction pour qu'elle simule à la place la moyenne d'un échantillon de $n$ lancers de pièce (0 ou 1).
Voir un indice
La variable total accumule la somme des tirages. La moyenne d'un grand échantillon se rapproche de l'espérance de la variable simulée.
Voir la correction
1. La variable total accumule la somme des $n$ résultats des lancers : elle vaut 0 au départ, puis on lui ajoute chaque tirage randint(1, 6) dans la boucle. À la fin, on divise par $n$ pour obtenir la moyenne.
2. L'espérance d'un dé équilibré est $E = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5.$ Pour $n = 1000$ , la moyenne de l'échantillon est proche de $3{,}5$ .
3. Il suffit de remplacer randint(1, 6) par randint(0, 1) :
```
from random import randint

def moyenne_echantillon(n):
    total = 0
    for i in range(n):
        total = total + randint(0, 1)
    return total / n
```
La moyenne obtenue sera alors proche de $0{,}5$ .
5
Moyenne d'un échantillon simulé
Moyen
On simule le lancer d'un dé équilibré à six faces. On rappelle son espérance $\mu = 3{,}5$ et son écart type $\sigma = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \approx 1{,}708$ .
1. Écrire une fonction moyenne_echantillon(n) renvoyant la moyenne d'un échantillon simulé de $n$ lancers.
2. On exécute moyenne_echantillon(10) puis moyenne_echantillon(10000). Pour laquelle des deux tailles la moyenne obtenue est-elle en général la plus proche de $\mu = 3{,}5$ ? Justifier.
3. Écrire un programme qui calcule, pour $n = 10$ puis $n = 10000$ , l'écart $|m - \mu|$ entre la moyenne simulée $m$ et l'espérance.
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Plus la taille $n$ de l'échantillon est grande, plus la moyenne observée a tendance à s'approcher de l'espérance. L'écart se calcule avec la valeur absolue abs(...).
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6
Estimation d'une proportion
Moyen
Une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$ est simulée. On admet que, pour un échantillon de taille $n$ , la moyenne $m$ vérifie « souvent » l'inégalité
$|m - \mu| \le \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}.$
On souhaite estimer la proportion de cas où cette inégalité est réalisée. On travaille avec un dé équilibré : $\mu = 3{,}5$ et $\sigma = \sqrt{\dfrac{35}{12}}$ .
1. On prend $n = 100$ . Calculer la valeur du seuil $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
2. Écrire un programme simulant $N = 1000$ échantillons de taille $n = 100$ et calculant la proportion de ceux pour lesquels $|m - \mu| \le \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ .
3. Autour de quelle valeur cette proportion se situe-t-elle habituellement ?
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Réutiliser une fonction renvoyant la moyenne d'un échantillon de taille $n$ . Compter combien d'échantillons vérifient l'inégalité, puis diviser par $N$ . Importer sqrt depuis le module math.
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7
Dispersion et taille d'échantillon
Moyen
On étudie l'effet de la taille $n$ de l'échantillon sur la dispersion de la moyenne. On simule des lancers de pièce (0 ou 1), pour lesquels $\mu = 0{,}5$ .
1. Pour chaque valeur de $n$ dans $\{10,\ 100,\ 1000,\ 10000\}$ , on simule un échantillon et on calcule l'écart $|m - \mu|$ . Écrire le programme correspondant.
2. D'après le programme, comment évolue en général l'écart $|m - \mu|$ lorsque $n$ est multiplié par 10 ?
3. L'écart type de la moyenne d'un échantillon de taille $n$ vaut $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Si on multiplie $n$ par 100, par combien est divisée cette quantité ? Justifier.
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Quand $n$ est multiplié par 100, $\sqrt{n}$ est multiplié par $\sqrt{100} = 10$ . Observer que l'écart tend globalement à diminuer avec $n$ .
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8
Exercice 8
Difficile
On veut estimer la valeur de $\pi$ par une méthode de Monte-Carlo. On tire au hasard un point de coordonnées $(x, y)$ dans le carré $[0 ; 1] \times [0 ; 1]$ . Le point est « dans le quart de disque » si $x^2 + y^2 \le 1$ .
1. L'aire du quart de disque de rayon 1 vaut $\dfrac{\pi}{4}$ et celle du carré vaut 1. Expliquer pourquoi la proportion de points tombant dans le quart de disque est proche de $\dfrac{\pi}{4}$ .
2. Écrire une fonction estimation_pi(N) qui tire $N$ points au hasard et renvoie une estimation de $\pi$ .
3. Que peut-on dire de la qualité de l'estimation lorsque $N$ augmente ?
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9
Exercice 9
Difficile
On lance simultanément deux dés équilibrés et on s'intéresse à la somme $S$ des deux faces.
1. Déterminer l'espérance de $S$ . On pourra utiliser que l'espérance d'un dé est $3{,}5$ .
2. Écrire une fonction somme_deux_des() simulant un lancer et renvoyant la somme des deux faces, puis une fonction moyenne_sommes(n) renvoyant la moyenne d'un échantillon de $n$ sommes.
3. Écrire un programme simulant $N = 2000$ échantillons de taille $n = 50$ et estimant la proportion des cas où $|m - \mu| \le \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ , avec $\mu = 7$ et $\sigma = \sqrt{\dfrac{35}{6}}$ (écart type de la somme de deux dés).
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Expérimentations

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Moyenne d'un échantillon simulé

Estimation d'une proportion

Dispersion et taille d'échantillon

Exercice 8

Exercice 9