Ascension Maths

I. Les trois formes d'un trinôme

DéfinitionFonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré, aussi appelée trinôme, est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

f(x)=ax^2+bx+c

où $a$ , $b$ , $c$ sont trois réels et $a \neq 0$ . Sa courbe représentative est une parabole, tournée vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$ .

DéfinitionForme canonique

Tout trinôme s'écrit aussi sous la forme

f(x)=a\,(x-\alpha)^2+\beta \qquad \text{avec} \qquad \alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha)

Le point de coordonnées $(\alpha\,;\beta)$ est le sommet de la parabole. Cette forme donne immédiatement l'extrémum et les variations.

PropriétéVariations et extrémum

Si $a>0$ , la fonction décroît sur $]-\infty\,;\alpha]$ puis croît sur $[\alpha\,;+\infty[$ . Elle admet un minimum égal à $\beta$ , atteint en $\alpha$ .

Si $a<0$ , le sens est inversé et la fonction admet un maximum égal à $\beta$ .

Exemple

Pour la fonction définie par $f(x)=2x^2-8x+5$ , on a $\alpha = -\dfrac{-8}{2 \times 2}=2$ et $\beta = f(2)=-3$ , donc

f(x)=2(x-2)^2-3

Le minimum de la fonction vaut $-3$ et il est atteint en $x=2$ .

II. Discriminant et racines

DéfinitionDiscriminant

Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre

\Delta = b^2-4ac

Son signe décide du nombre de solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ .

PropriétéRésolution de l'équation du second degré

Si $\Delta>0$ , l'équation admet deux solutions distinctes :

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Si $\Delta=0$ , elle admet une unique solution, $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .

Si $\Delta<0$ , elle n'admet aucune solution réelle.

Démonstration : Formule de résolution

Partons de la forme canonique et transformons-la.

ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a}+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}

L'équation $f(x)=0$ équivaut donc, après division par $a$ , à

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}

Le membre de gauche est un carré, donc positif ou nul. Le membre de droite a le signe de $\Delta$ , puisque $4a^2>0$ .

Si $\Delta<0$ , l'égalité est impossible : aucune solution.

Si $\Delta=0$ , elle donne $x+\dfrac{b}{2a}=0$ , c'est-à-dire une solution unique.

Si $\Delta>0$ , elle donne $x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ , d'où les deux solutions annoncées.

Exemple

Résolvons $2x^2-7x+3=0$ . Le discriminant vaut

\Delta = (-7)^2-4 \times 2 \times 3 = 49-24=25

Comme $\Delta>0$ , il y a deux solutions :

x_1=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2} \qquad x_2=\frac{7+5}{4}=3

III. Factorisation et signe

PropriétéForme factorisée

Si $\Delta>0$ , le trinôme se factorise avec ses deux racines :

ax^2+bx+c = a\,(x-x_1)(x-x_2)

Si $\Delta=0$ , la factorisation devient $a\,(x-x_0)^2$ .

Si $\Delta<0$ , aucune factorisation de ce type n'existe.

PropriétéSigne du trinôme

Lorsque le trinôme admet deux racines $x_1<x_2$ , il est du signe de $a$ à l'extérieur de l'intervalle $[x_1\,;x_2]$ , et du signe contraire à l'intérieur.

Lorsqu'il n'admet aucune racine, il garde le signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$ .

Lorsqu'il admet une racine double, il garde le signe de $a$ partout, en s'annulant en cette racine.

Remarque

La formule se retient en une phrase : « signe de $a$ partout, sauf entre les racines ». Encore faut-il que des racines existent, d'où le calcul du discriminant en préalable.

Exemple

L'expression $2x^2-7x+3$ a pour racines $\dfrac{1}{2}$ et $3$ , avec $a=2>0$ . Elle est donc négative sur $\left[\dfrac{1}{2}\,;3\right]$ et positive à l'extérieur.

L'inéquation $2x^2-7x+3 \leqslant 0$ a donc pour ensemble de solutions $\left[\dfrac{1}{2}\,;3\right]$ .

PropriétéSomme et produit des racines

Lorsque le trinôme admet deux racines $x_1$ et $x_2$ :

x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}

Ces deux relations permettent de deviner des racines simples, ou de retrouver la seconde racine quand une racine évidente a été repérée.

Exemple

Pour l'équation $x^2-5x+6=0$ , la somme des racines vaut $5$ et leur produit $6$ . Les nombres $2$ et $3$ conviennent, ce sont donc les racines, sans avoir eu besoin du discriminant.

IV. Choisir la bonne forme

MéthodeUne forme par type de question

question posée	forme à utiliser
calculer une image, lire $c$	développée : $ax^2+bx+c$
sommet, extrémum, variations	canonique : $a(x-\alpha)^2+\beta$
racines, signe, inéquation	factorisée : $a(x-x_1)(x-x_2)$

La première étape d'un exercice consiste souvent à passer d'une forme à une autre. Le temps consacré à ce changement est presque toujours rentable.

ExempleUn problème d'optimisation

Un terrain rectangulaire est bordé sur un côté par un mur, et les trois autres côtés sont clôturés avec $60$ mètres de grillage. En notant $x$ la largeur, la longueur vaut $60-2x$ et l'aire s'écrit

A(x)=x\,(60-2x)=-2x^2+60x

Sous forme canonique, $A(x)=-2(x-15)^2+450$ . L'aire maximale vaut donc $450$ mètres carrés, atteinte pour une largeur de $15$ mètres.

Équations et fonctions du second degré

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Les trois formes d'un trinôme

II. Discriminant et racines

III. Factorisation et signe

IV. Choisir la bonne forme