Équations, fonctions polynômes du second degré

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

   $$f(x) = 3(x-2)(x+5).$$

   1. Déterminer les racines de $f$.
   2. Dresser le tableau de signes de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
   3. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) < 0$.
   Voir un indice

   Une expression sous forme d'un produit s'annule lorsque l'un de ses facteurs s'annule. Le coefficient dominant est $a = 3 > 0$ : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines.

   Voir la correction

   1. $f(x) = 0$ équivaut à $x - 2 = 0$ ou $x + 5 = 0$, soit $x = 2$ ou $x = -5$. Les racines sont donc $-5$ et $2$.

   2. Le coefficient dominant est $a = 3 > 0$. Un trinôme du second degré est du signe de $a$ à l'extérieur de l'intervalle des racines, et du signe de $-a$ entre les racines.

   $$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & -\infty & \quad -5 \quad & & \quad 2 \quad & +\infty \\ \hline x+5 & & - & 0 & + & + \\ x-2 & & - & & - & 0 & + \\ f(x) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array}$$

   3. On a $f(x) < 0$ entre les racines : l'ensemble des solutions est l'intervalle $]-5\,;\,2[$.

2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes en utilisant le discriminant.

   1. $2x^2 - 3x - 2 = 0$
   2. $x^2 + 4x + 4 = 0$
   3. $x^2 - x + 1 = 0$
   Voir un indice

   Pour $ax^2 + bx + c = 0$, calculer $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta > 0$, deux solutions $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta = 0$, une solution double $\dfrac{-b}{2a}$ ; si $\Delta < 0$, aucune solution réelle.

   Voir la correction

   1. Ici $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$. On calcule

   $$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25 > 0.$$

   Il y a deux solutions :

   $$x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}, \qquad x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2.$$

   L'ensemble des solutions est $\left\{ -\dfrac{1}{2}\,;\, 2 \right\}$.

   2. Ici $a = 1$, $b = 4$, $c = 4$. On calcule

   $$\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0.$$

   Il y a une unique solution (racine double) : $x = \dfrac{-4}{2} = -2$. On retrouve d'ailleurs $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. L'ensemble des solutions est $\{-2\}$.

   3. Ici $a = 1$, $b = -1$, $c = 1$. On calcule

   $$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0.$$

   Il n'y a aucune solution réelle : l'ensemble des solutions est $\varnothing$.

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

   1. Déterminer la forme canonique de $f$.
   2. En déduire les coordonnées du sommet de la parabole et le sens de variation de $f$.
   3. Préciser l'extremum de $f$ (nature et valeur).
   Voir un indice

   Pour $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, on a $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. Comme $a = 1 > 0$, la parabole est tournée vers le haut.

   Voir la correction

   1. On a $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$. L'abscisse du sommet est

   $$\alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3, \qquad \beta = f(3) = 3^2 - 6 \times 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4.$$

   La forme canonique est donc

   $$f(x) = (x - 3)^2 - 4.$$

   On peut vérifier : $(x-3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5$.

   2. Le sommet de la parabole a pour coordonnées $S(3\,;\,-4)$. Comme $a = 1 > 0$, $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,3]$ puis croissante sur $[3\,;\,+\infty[$.

   3. $f$ admet un minimum, atteint en $x = 3$, égal à $-4$.

4. 4

   Exercice 4

   Facile
   1. Deux nombres réels ont pour somme $S = 7$ et pour produit $P = 12$. Déterminer ces deux nombres.
   2. En déduire une factorisation du trinôme $x^2 - 7x + 12$.
   3. Vérifier, à l'aide des racines trouvées, les relations $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.
   Voir un indice

   Deux réels de somme $S$ et de produit $P$ sont les racines de l'équation $x^2 - Sx + P = 0$. Une fois les racines $x_1$ et $x_2$ connues, on a $x^2 - Sx + P = (x - x_1)(x - x_2)$.

   Voir la correction

   1. Les deux nombres cherchés sont les racines de $x^2 - 7x + 12 = 0$. On calcule

   $$\Delta = (-7)^2 - 4 \times 1 \times 12 = 49 - 48 = 1 > 0,$$

   d'où

   $$x_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3, \qquad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4.$$

   Les deux nombres sont $3$ et $4$. On vérifie : $3 + 4 = 7$ et $3 \times 4 = 12$.

   2. Puisque $3$ et $4$ sont les racines et que $a = 1$,

   $$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4).$$

   3. Avec $a = 1$, $b = -7$, $c = 12$ : $x_1 + x_2 = 3 + 4 = 7 = -\dfrac{-7}{1} = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = 3 \times 4 = 12 = \dfrac{12}{1} = \dfrac{c}{a}$. Les relations somme-produit sont bien vérifiées.

5. 5

   Inéquation du second degré

   Moyen

   Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation

   $$-x^2 + x + 6 \geq 0.$$

   On présentera la résolution à l'aide d'un tableau de signes.

   Voir un indice

   Chercher d'abord les racines du trinôme, puis le factoriser. Attention au signe du coefficient dominant $a = -1 < 0$ : le trinôme est du signe de $a$ (négatif) à l'extérieur des racines.

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6. 6

   Aire maximale d'un enclos

   Moyen

   Un agriculteur dispose de $20$ mètres de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire. On note $x$ (en mètres) la longueur d'un côté de ce rectangle, avec $0 < x < 10$.

   1. Exprimer l'autre dimension du rectangle en fonction de $x$, puis montrer que l'aire de l'enclos est $A(x) = -x^2 + 10x$.
   2. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire est maximale, ainsi que cette aire maximale.
   3. Quelle est alors la nature du rectangle obtenu ?
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   Le périmètre vaut $20$, donc la somme de deux côtés consécutifs vaut $10$. L'aire est une fonction du second degré : chercher son sommet grâce à la forme canonique ou à $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$.

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7. 7

   Discriminant selon un paramètre

   Moyen

   On considère l'équation, d'inconnue $x$ et de paramètre réel $m$,

   $$x^2 - 4x + m = 0.$$

   1. Calculer le discriminant $\Delta$ en fonction de $m$.
   2. Discuter, selon les valeurs de $m$, le nombre de solutions de l'équation.
   3. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle l'équation admet une solution double, puis préciser cette solution.
   Voir un indice

   Ici $a = 1$, $b = -4$, $c = m$. Le nombre de solutions dépend du signe de $\Delta = b^2 - 4ac$. La solution double correspond au cas $\Delta = 0$.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On considère le polynôme $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$.

   1. Vérifier que $1$ est une racine de $P$.
   2. Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ tels que $P(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)$.
   3. Factoriser complètement $P(x)$ et résoudre l'équation $P(x) = 0$.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile
   1. Soit $n$ un entier naturel non nul. Démontrer l'identité $x^n - 1 = (x - 1)\left( x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1 \right).$
   2. Appliquer cette identité pour factoriser $x^4 - 1$, puis la factoriser complètement dans $\mathbb{R}$.
   3. On cherche deux nombres réels dont la somme vaut $S = 5$ et le produit $P = 4$. Déterminer ces deux nombres.
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