Ascension Maths

I. Le taux de variation

On part d'une fonction $f$ et de sa courbe représentative, c'est-à-dire l'ensemble des points de coordonnées $(x\,;\,f(x))$ tracé dans un repère. Regarder cette courbe suffit pour dire si la fonction monte ou si elle descend. Pour dire à quelle vitesse elle monte, il faut un nombre, et ce nombre compare ce que gagne $f$ à ce que gagne $x$ .

DéfinitionTaux de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , et $a$ , $b$ deux réels distincts de $I$ . Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est le quotient

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Ce quotient est le coefficient directeur de la droite qui passe par les points $A\,(a\,;\,f(a))$ et $B\,(b\,;\,f(b))$ de la courbe représentative de $f$ . Cette droite porte un nom : une sécante.

Exemple

Prenons la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$ , et fixons le premier point en $a=1$ .

second point	taux de variation
$b = 3$	$\dfrac{9-1}{3-1} = 4$
$b = 1{,}5$	$\dfrac{2{,}25-1}{0{,}5} = 2{,}5$
$b = 1{,}1$	$\dfrac{1{,}21-1}{0{,}1} = 2{,}1$
$b = 1{,}01$	$\dfrac{1{,}0201-1}{0{,}01} = 2{,}01$

Les valeurs se resserrent autour de 2 à mesure que $B$ glisse vers $A$ . Ce 2 est la réponse à la question « à quelle vitesse ? » au point $a=1$ .

Remarque

On note souvent le second point $b = a+h$ , avec $h \neq 0$ . Le taux de variation s'écrit alors

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

C'est la même quantité, écrite avec une seule lettre mobile : $h$ , l'écart entre les deux points. Faire glisser $B$ vers $A$ revient à faire tendre $h$ vers 0. Les deux écritures servent, et le sujet de bac choisit parfois l'une pour vérifier que tu reconnais l'autre.

II. Le nombre dérivé

DéfinitionNombre dérivé en

a

La fonction $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel quand $h$ tend vers 0. Ce nombre s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$ :

f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

ExempleLe carré en

a=3

Reprenons la fonction carré, avec $a=3$ . Pour $h \neq 0$ , le taux de variation vaut :

\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(3+h)^2-9}{h}=\frac{9+6h+h^2-9}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=6+h

La simplification par $h$ est autorisée puisque $h \neq 0$ . Quand $h$ tend vers 0, $6+h$ tend vers 6, donc $f'(3)=6$ .

La démarche est toujours la même : on développe, le terme constant s'élimine, on factorise par $h$ , on simplifie, et seulement là on fait tendre $h$ vers 0. Tant qu'il reste un $h$ au dénominateur, remplacer $h$ par 0 ne veut rien dire.

Remarque

Le nombre dérivé $f'(a)$ mesure la rapidité avec laquelle la fonction $f$ varie autour de $a$ . Un nombre dérivé de 6 signifie qu'au voisinage de $a$ , $f$ augmente environ 6 fois plus vite que $x$ . S'il est négatif, la fonction décroît à cet endroit. S'il vaut 0, elle marque une pause, et c'est souvent le signe d'un maximum ou d'un minimum (le chapitre sur les variations reprend ce point).

Attention

Être définie en $a$ et être dérivable en $a$ sont deux choses différentes. La fonction racine carrée est parfaitement définie en 0, avec $\sqrt{0}=0$ , et pourtant elle n'y est pas dérivable.

Démonstration : La racine carrée n'est pas dérivable en 0

On note $f$ la fonction racine carrée, définie par $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[0\,;+\infty[$ , et on prend un réel $h>0$ . Le taux de variation entre 0 et $h$ vaut

\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}-0}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{(\sqrt{h})^2}=\frac{1}{\sqrt{h}}

Quand $h$ tend vers 0 par valeurs positives, $\sqrt{h}$ tend vers 0, donc $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ devient aussi grand que l'on veut. Le taux de variation n'a pas de limite finie : $f$ n'est pas dérivable en 0.

Sur la courbe représentative de la fonction racine carrée, cela se voit très bien : les sécantes issues de l'origine se redressent sans jamais se stabiliser, et la courbe arrive en 0 avec une tangente verticale.

III. La tangente

Le nombre dérivé est un coefficient directeur, donc il définit une droite. Reprenons les deux points $A$ et $B$ de la courbe représentative de $f$ : quand $B$ glisse vers $A$ , les sécantes $(AB)$ pivotent autour de $A$ et se stabilisent sur une position limite.

DéfinitionTangente en un point

Si la fonction $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à la courbe représentative de $f$ au point $A\,(a\,;\,f(a))$ est la droite qui passe par $A$ et dont le coefficient directeur est $f'(a)$ .

PropriétéÉquation de la tangente

La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation

y = f'(a)\,(x-a) + f(a)

Démonstration : Équation de la tangente

La tangente n'est pas verticale, puisque son coefficient directeur est le réel $f'(a)$ . Elle admet donc une équation réduite de la forme $y = mx + p$ , avec $m = f'(a)$ par définition de la tangente.

Elle passe par le point $A\,(a\,;\,f(a))$ , dont les coordonnées vérifient l'équation :

f(a) = f'(a) \times a + p \quad \text{donc} \quad p = f(a) - a\,f'(a)

En remplaçant $p$ dans $y = f'(a)x + p$ :

y = f'(a)\,x + f(a) - a\,f'(a) = f'(a)\,(x-a) + f(a)

MéthodeÉcrire une équation de tangente

Trois calculs séparés, dans cet ordre, avant d'écrire quoi que ce soit :

la valeur $f(a)$ de la fonction au point d'abscisse $a$ ;
la fonction dérivée $f'(x)$ , sous sa forme générale ;
le nombre dérivé $f'(a)$ , obtenu en remplaçant $x$ par $a$ dans la dérivée.

Ensuite seulement vient la formule $y = f'(a)(x-a)+f(a)$ , dans laquelle il ne reste qu'à remplacer. Développer à la fin est facultatif, sauf si l'énoncé demande l'équation réduite.

Exemple

Cherchons la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$ , au point d'abscisse 3.

On a déjà $f(3)=9$ et $f'(3)=6$ . La formule donne

y = 6(x-3)+9 = 6x-18+9 = 6x-9

La tangente a pour équation $y = 6x-9$ . Vérification rapide : pour $x=3$ , on trouve $y=9$ , la droite passe bien par le point de la courbe.

IV. Approcher $f(a+h)$

Autour du point de contact, la tangente et la courbe représentative de $f$ sont presque confondues. Comme calculer sur une droite est plus simple que sur une courbe, on remplace l'une par l'autre.

PropriétéApproximation affine

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors pour $h$ proche de 0 :

f(a+h) \approx f(a) + f'(a)\,h

L'approximation est d'autant meilleure que $h$ est petit.

ExempleUne valeur approchée de

\sqrt{4{,}02}

On prend $f(x)=\sqrt{x}$ , dont la dérivée est $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , puis $a=4$ et $h=0{,}02$ .

f(4)=2 \qquad f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}=0{,}25

\sqrt{4{,}02} \approx 2 + 0{,}25 \times 0{,}02 = 2{,}005

La calculatrice affiche $2{,}004\,99\ldots$ : l'écart avec notre valeur approchée est inférieur à $10^{-5}$ . Le choix de $a=4$ n'a rien d'arbitraire, c'est le carré parfait le plus proche de 4,02, donc celui dont la racine se calcule de tête.

V. La fonction dérivée

Jusqu'ici, le nombre dérivé a été calculé en un point précis. Lorsqu'il existe en chaque point d'un intervalle, ces valeurs forment une nouvelle fonction, et il devient inutile de repasser par une limite à chaque calcul.

DéfinitionFonction dérivée

La fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ lorsqu'elle est dérivable en chaque réel de $I$ . La fonction qui à chaque $x$ de $I$ associe le nombre $f'(x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$ , et se note $f'$ .

PropriétéDérivées des fonctions de référence

$f(x)$	$f'(x)$	dérivable sur
$k$ (constante)	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^2$	$2x$	$\mathbb{R}$
$x^3$	$3x^2$	$\mathbb{R}$
$x^n$ , $n \in \mathbb{Z}$	$n\,x^{n-1}$	$\mathbb{R}$ si $n \geqslant 0$ , sinon $]-\infty\,;0[$ et $]0\,;+\infty[$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$]-\infty\,;0[$ et $]0\,;+\infty[$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;+\infty[$

La dernière ligne mérite un coup d'œil : la racine carrée est définie sur $[0\,;+\infty[$ mais dérivable seulement sur $]0\,;+\infty[$ , pour la raison démontrée plus haut.

Démonstration : Dérivée de la fonction carré

On note $f$ la fonction carré, définie par $f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$ . Pour un réel $a$ quelconque et un réel $h \neq 0$ :

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\frac{h\,(2a+h)}{h}=2a+h

Quand $h$ tend vers 0, cette expression tend vers $2a$ . Donc $f$ est dérivable en tout réel $a$ , avec $f'(a)=2a$ , autrement dit $f'(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$ .

Démonstration : Dérivée de la fonction inverse

On note $f$ la fonction inverse, définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ . Pour un réel $a \neq 0$ et un réel $h \neq 0$ assez petit pour que $a+h \neq 0$ :

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h}=\frac{\dfrac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h}=\frac{-h}{a(a+h)}\times\frac{1}{h}=\frac{-1}{a(a+h)}

Quand $h$ tend vers 0, $a+h$ tend vers $a$ , donc le quotient tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$ . Ainsi $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ sur chacun des deux intervalles où $f$ est définie.

VI. Les opérations sur les dérivées

PropriétéFormules à connaître par cœur

On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$ , ainsi qu'un réel $k$ .

fonction	dérivée	condition
$u+v$	$u'+v'$
$k\,u$	$k\,u'$
$u\,v$	$u'v+uv'$
$\dfrac{1}{v}$	$-\dfrac{v'}{v^2}$	$v$ ne s'annule pas sur $I$
$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$	$v$ ne s'annule pas sur $I$

Dans la formule du quotient, l'ordre au numérateur compte. Écrire $uv'-u'v$ donne l'opposé du bon résultat, et c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

Démonstration : Dérivée d'un produit

On note $f$ le produit des deux fonctions $u$ et $v$ , toutes deux dérivables en $a$ . Pour $h \neq 0$ , le taux de variation de $f$ s'écrit

\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}

L'astuce consiste à ajouter puis retrancher le terme $u(a)v(a+h)$ au numérateur, ce qui ne change rien à sa valeur :

\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}

On regroupe les deux premiers termes, puis les deux derniers :

\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a+h) \;+\; u(a)\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h}

Quand $h$ tend vers 0, le premier taux tend vers $u'(a)$ et le second vers $v'(a)$ . Comme $v$ est dérivable en $a$ , elle y est continue, donc $v(a+h)$ tend vers $v(a)$ . L'ensemble tend vers

u'(a)\,v(a) + u(a)\,v'(a)

Attention

La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Avec $u(x)=x$ et $v(x)=x$ , le produit vaut $x^2$ , de dérivée $2x$ , alors que $u'v'=1\times1=1$ . Même remarque pour le quotient.

MéthodeIdentifier la forme avant de dériver

Avant d'appliquer la moindre formule, demande-toi de quelle opération l'expression est le résultat, en te plaçant au niveau le plus extérieur : est-ce une somme ? un produit ? un quotient ? Note $u$ et $v$ explicitement sur ta copie, calcule $u'$ et $v'$ à part, puis remplace dans la formule.

Ces trois lignes d'écriture font gagner plus de points qu'elles n'en coûtent en temps, et elles rendent l'erreur de signe beaucoup plus difficile à commettre.

ExempleUn produit

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(3x^2+1)(x-5)$ . On pose $u(x)=3x^2+1$ et $v(x)=x-5$ , donc $u'(x)=6x$ et $v'(x)=1$ .

f'(x)=u'v+uv'=6x(x-5)+(3x^2+1)\times 1

f'(x)=6x^2-30x+3x^2+1=9x^2-30x+1

ExempleUn quotient

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+1}$ . Le dénominateur ne s'annule jamais, puisque $x^2+1 \geqslant 1$ , donc $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ . On pose $u(x)=2x+1$ et $v(x)=x^2+1$ , d'où $u'(x)=2$ et $v'(x)=2x$ .

g'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{2(x^2+1)-(2x+1)(2x)}{(x^2+1)^2}

g'(x)=\frac{2x^2+2-4x^2-2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2-2x+2}{(x^2+1)^2}

Le dénominateur est un carré, donc positif : le signe de $g'$ est celui du numérateur, et c'est par là que passera l'étude des variations.

VII. Lire une dérivée dans un énoncé concret

Les sujets de bac posent rarement la question sous forme mathématique pure. Ils décrivent une situation, et c'est à toi de reconnaître qu'un nombre dérivé est demandé.

ExempleUne vitesse

Si $d(t)$ est la distance parcourue au bout de $t$ secondes, le taux de variation entre $t_1$ et $t_2$ est la vitesse moyenne sur cet intervalle. Le nombre dérivé $d'(t_1)$ est la vitesse instantanée à l'instant $t_1$ , celle que lit le compteur de la voiture.

ExempleUn coût marginal

En économie, si $C(q)$ est le coût de production de $q$ objets, $C'(q)$ s'appelle le coût marginal. L'approximation affine avec $h=1$ en donne la lecture concrète :

C(q+1) \approx C(q) + C'(q)

Le coût marginal est donc le coût approximatif de l'objet suivant. Un énoncé qui demande « à partir de quelle production fabriquer une unité de plus coûte-t-il plus de 40 euros ? » revient à résoudre $C'(q) > 40$ .

VIII. Les erreurs qui coûtent des points

AttentionRemplacer

h

par 0 trop tôt

Tant que le quotient n'est pas simplifié, poser $h=0$ donne $\frac{0}{0}$ , qui ne veut rien dire. Il faut d'abord factoriser par $h$ au numérateur.

AttentionConfondre

f(a)

et

f'(a)

Dans l'équation de la tangente, le nombre dérivé est le coefficient directeur et la valeur de la fonction est l'ordonnée du point de contact. Les intervertir donne une droite qui ne touche même pas la courbe.

AttentionOublier l'ensemble de dérivabilité

Pour un quotient, il faut dire pourquoi le dénominateur ne s'annule pas sur l'intervalle considéré. Cette justification est attendue et vaut des points.

AttentionLe signe dans la formule du quotient

Le numérateur est $u'v-uv'$ . Pour le retenir : la formule du produit est symétrique, celle du quotient ne l'est pas, et c'est $u$ qui se dérive en premier.

Dérivation

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Le taux de variation

II. Le nombre dérivé

III. La tangente

IV. Approcher $f(a+h)$

V. La fonction dérivée

VI. Les opérations sur les dérivées

VII. Lire une dérivée dans un énoncé concret

VIII. Les erreurs qui coûtent des points

Dérivation

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Le taux de variation

II. Le nombre dérivé

III. La tangente

IV. Approcher f(a+h)f(a+h)f(a+h)

V. La fonction dérivée

VI. Les opérations sur les dérivées

VII. Lire une dérivée dans un énoncé concret

VIII. Les erreurs qui coûtent des points

IV. Approcher $f(a+h)$