Dérivation

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.

   1. Calculer le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2+h$ (avec $h\neq 0$), et le simplifier.
   2. En déduire, en faisant tendre $h$ vers $0$, le nombre dérivé $f'(2)$.
   3. Donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$.
   Voir un indice

   Le taux de variation entre $a$ et $a+h$ vaut $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Développe $(2+h)^2$ puis simplifie par $h$. L'équation de la tangente en $a$ est $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

   Voir la correction

   1. Le taux de variation est

   $$\tau(h)=\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\frac{4+4h+h^2-4}{h}=\frac{4h+h^2}{h}.$$

   Comme $h\neq 0$, on simplifie : $\tau(h)=4+h$.

   2. Lorsque $h$ tend vers $0$, $\tau(h)=4+h$ tend vers $4$. Donc

   $$f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=4.$$

   3. On a $f(2)=4$ et $f'(2)=4$. L'équation de la tangente au point d'abscisse $2$ est

   $$y=f(2)+f'(2)(x-2)=4+4(x-2)=4x-4.$$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$. On lit sur le graphique que la tangente à $\mathcal{C}$ au point $A(1\,;\,3)$ passe aussi par le point $B(3\,;\,7)$.

   1. Déterminer $f(1)$.
   2. Déterminer le nombre dérivé $f'(1)$ (pente de la tangente en $A$).
   3. En déduire l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.
   Voir un indice

   Le nombre dérivé $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $1$. Utilise les deux points $A$ et $B$ de cette tangente pour calculer sa pente.

   Voir la correction

   1. Le point $A(1\,;\,3)$ appartient à la courbe, donc $f(1)=3$.

   2. Le nombre dérivé $f'(1)$ est la pente de la tangente en $A$. Cette tangente passe par $A(1\,;\,3)$ et $B(3\,;\,7)$, donc sa pente vaut

   $$f'(1)=\frac{7-3}{3-1}=\frac{4}{2}=2.$$

   3. L'équation de la tangente au point d'abscisse $1$ est

   $$y=f(1)+f'(1)(x-1)=3+2(x-1)=2x+1.$$
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Calculer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur un intervalle où elles sont dérivables.

   1. $f(x)=3x^2-5x+7$
   2. $g(x)=x^3+\dfrac{2}{x}$ \quad (sur $]0\,;\,+\infty[$)
   3. $h(x)=4\sqrt{x}$ \quad (sur $]0\,;\,+\infty[$)
   4. $k(x)=(2x-1)(x^2+3)$
   Voir un indice

   Utilise les dérivées de référence : $(x^2)'=2x$, $(x^3)'=3x^2$, $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$, $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Pour $k$, applique la formule du produit $(uv)'=u'v+uv'$ (ou développe d'abord).

   Voir la correction

   1. $f'(x)=3\times 2x-5=6x-5$.

   2. $g'(x)=3x^2+2\times\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=3x^2-\dfrac{2}{x^2}$.

   3. $h'(x)=4\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}$.

   4. Avec $u(x)=2x-1$ et $v(x)=x^2+3$, on a $u'(x)=2$ et $v'(x)=2x$. Donc

   $$k'(x)=u'v+uv'=2(x^2+3)+(2x-1)(2x)=2x^2+6+4x^2-2x=6x^2-2x+6.$$

   (On peut vérifier en développant $k(x)=2x^3-x^2+6x-3$, dont la dérivée est bien $6x^2-2x+6$.)

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$. On souhaite obtenir une valeur approchée de $\sqrt{4{,}02}$.

   1. Calculer $f'(x)$, puis $f(4)$ et $f'(4)$.
   2. Écrire l'approximation affine de $f(4+h)$ pour $h$ proche de $0$.
   3. En déduire une valeur approchée de $\sqrt{4{,}02}$. Comparer à la valeur donnée par la calculatrice ($\sqrt{4{,}02}\approx 2{,}004994$).
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   L'approximation affine s'écrit $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)\,h$ pour $h$ proche de $0$. Ici $a=4$ et $h=0{,}02$.

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   1. $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. Donc $f(4)=\sqrt{4}=2$ et $f'(4)=\dfrac{1}{2\sqrt{4}}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$.

   2. L'approximation affine au voisinage de $4$ est

   $$f(4+h)\approx f(4)+f'(4)\,h=2+0{,}25\,h.$$

   3. Avec $h=0{,}02$ :

   $$\sqrt{4{,}02}\approx 2+0{,}25\times 0{,}02=2+0{,}005=2{,}005.$$

   La calculatrice donne $\sqrt{4{,}02}\approx 2{,}004994$ : l'approximation affine est très précise (écart d'environ $6\times 10^{-6}$).

5. 5

   Tangentes à une cubique

   Moyen

   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x+2$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

   1. Calculer $f'(x)$.
   2. Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-1$.
   3. Déterminer les abscisses des points de $\mathcal{C}$ où la tangente est horizontale.
   4. Existe-t-il un point de $\mathcal{C}$ où la tangente a pour coefficient directeur $9$ ? Si oui, préciser son (ou ses) abscisse(s).
   Voir un indice

   Une tangente est horizontale lorsque le nombre dérivé est nul : résous $f'(x)=0$. Pour la question 4, résous $f'(x)=9$.

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6. 6

   Coût marginal et dérivée

   Moyen

   Une entreprise produit $x$ objets par jour, avec $0<x\le 100$. Le coût total de production, en euros, est donné par

   $$C(x)=0{,}5x^2+20x+200.$$

   En économie, le coût marginal est assimilé au nombre dérivé $C'(x)$ ; il représente approximativement le coût de production de l'objet supplémentaire.

   1. Calculer $C'(x)$.
   2. Déterminer le coût marginal pour $x=40$ objets.
   3. Calculer $C(41)-C(40)$ (coût réel du $41^{\text{e}}$ objet) et comparer à $C'(40)$.
   4. Le coût moyen unitaire est $C_m(x)=\dfrac{C(x)}{x}$. Calculer $C_m(x)$ puis sa dérivée $C_m'(x)$.
   Voir un indice

   Le coût marginal est $C'(x)$. Pour la question 4, écris $C_m(x)=0{,}5x+20+\dfrac{200}{x}$ avant de dériver, en utilisant $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$.

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7. 7

   Dérivée d'une fonction rationnelle

   Moyen

   On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par

   $$f(x)=\frac{2x-1}{x+1}.$$

   1. Justifier que $f$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et calculer $f'(x)$.
   2. Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.
   3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$. Que peut-on en déduire sur les tangentes à la courbe ?
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   $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=2x-1$ et $v(x)=x+1$. Utilise $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. La fonction est dérivable là où le dénominateur ne s'annule pas.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On veut retrouver la formule de dérivation $(x^n)'=n x^{n-1}$ pour $n=3$, à partir de la définition du nombre dérivé, puis généraliser.

   1. Soit $f(x)=x^3$ et $a$ un réel. Développer $(a+h)^3$, puis calculer et simplifier le taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ pour $h\neq 0$.
   2. En faisant tendre $h$ vers $0$, en déduire $f'(a)$.
   3. On admet l'identité $(a+h)^n-a^n=h\big(a^{n-1}+a^{n-2}(a+h)+\cdots\big)$, somme de $n$ termes qui tendent tous vers $a^{n-1}$ quand $h\to 0$. Expliquer comment on en déduit $(x^n)'=n x^{n-1}$.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   On étudie la dérivabilité en $0$ de deux fonctions de référence.

   1. Soit $g(x)=\sqrt{x}$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$. Calculer le taux de variation $\dfrac{g(h)-g(0)}{h}$ pour $h>0$, puis étudier sa limite quand $h\to 0$. La fonction racine carrée est-elle dérivable en $0$ ? Interpréter graphiquement.
   2. Soit $f(x)=|x|$ définie sur $\mathbb{R}$. Calculer le taux de variation $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}$ selon le signe de $h$, puis comparer les limites à droite et à gauche en $0$. La fonction valeur absolue est-elle dérivable en $0$ ? Interpréter graphiquement.
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