Ascension Maths
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Cours de Première

Calcul vectoriel et produit scalaire

Les quatre façons de calculer un produit scalaire, la caractérisation de l'orthogonalité, la formule d'Al-Kashi et les ensembles de points.

Avant de commencer

  • •Calculer les coordonnées et la norme d'un vecteur.
  • •Connaître le cosinus d'un angle remarquable.

À la fin du chapitre, tu sais

  • •Choisir la méthode de calcul adaptée à un produit scalaire.
  • •Démontrer une orthogonalité.
  • •Calculer un angle ou une longueur avec le produit scalaire.
  • •Déterminer un ensemble de points défini par une condition vectorielle.
Sommaire

I. Quatre façons de calculer un produit scalaire

Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre, et non un vecteur. Ce nombre mesure à quel point les deux vecteurs « vont dans le même sens ». Quatre expressions le calculent, et savoir choisir la bonne fait toute la différence sur la longueur d'un exercice.

DéfinitionAvec les normes et l'angle

On considère deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, et on note θ\theta l'angle qu'ils forment. Leur produit scalaire est le nombre

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta

Si l'un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 00.

PropriétéAvec les coordonnées

Dans un repère orthonormé, pour u⃗ (x ;y)\vec{u}\,(x\,;y) et v⃗ (x′ ;y′)\vec{v}\,(x'\,;y') :

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx'+yy'

C'est la méthode la plus rapide dès que les coordonnées sont connues.

PropriétéAvec une projection orthogonale

On considère deux vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}, et on note HH le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB). Alors

AB⃗⋅AC⃗=AB⃗⋅AH⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}

ce produit valant AB×AHAB \times AH si les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} ont le même sens, et −AB×AH-AB \times AH sinon.

PropriétéAvec les normes seules
u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\right)

Cette expression sert lorsque seules des longueurs sont données, sans repère ni angle.

MéthodeChoisir sa méthode
ce que donne l'énoncéméthode
des coordonnéesxx′+yy′xx'+yy'
des longueurs et un angleproduit des normes par cos⁡θ\cos\theta
une figure avec un angle droitprojection orthogonale
uniquement des longueursexpression avec les normes

II. Propriétés et orthogonalité

PropriétéRègles de calcul

Pour tous vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w} et tout réel kk :

u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗(ku⃗)⋅v⃗=k (u⃗⋅v⃗)\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \qquad \vec{u} \cdot (\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \qquad (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v})

Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même s'appelle son carré scalaire et vaut le carré de sa norme :

u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2
PropriétéDéveloppements utiles
∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 ∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2

Ces égalités sont les identités remarquables transposées aux vecteurs.

ThéorèmeCaractérisation de l'orthogonalité

Deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

u⃗⊥v⃗⟺u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

En coordonnées, cela s'écrit xx′+yy′=0xx'+yy'=0.

Exemple

Prenons A (1 ;2)A\,(1\,;2), B (4 ;3)B\,(4\,;3) et C (2 ;5)C\,(2\,;5). Les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} ont pour coordonnées (3 ;1)(3\,;1) et (1 ;3)(1\,;3), donc

AB⃗⋅AC⃗=3×1+1×3=6\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \times 1 + 1 \times 3 = 6

Ce produit n'est pas nul : l'angle en AA n'est pas droit. En calculant les normes, AB=AC=10AB=AC=\sqrt{10}, on obtient de plus cos⁡θ=610=0,6\cos\theta = \dfrac{6}{10}=0{,}6.

III. La formule d'Al-Kashi

ThéorèmeAl-Kashi

Dans un triangle ABCABC, en notant a=BCa=BC, b=ACb=AC, c=ABc=AB et A^\widehat{A} l'angle en AA :

a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}

Cette formule généralise le théorème de Pythagore, qu'elle redonne lorsque l'angle en AA est droit, puisque son cosinus est alors nul.

Démonstration : Formule d'Al-Kashi

Partons de la relation de Chasles BC⃗=AC⃗−AB⃗\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}, et calculons le carré scalaire de ce vecteur :

BC2=∥AC⃗−AB⃗∥2=∥AC⃗∥2−2 AC⃗⋅AB⃗+∥AB⃗∥2BC^2 = \|\vec{AC}-\vec{AB}\|^2 = \|\vec{AC}\|^2 - 2\,\vec{AC} \cdot \vec{AB} + \|\vec{AB}\|^2

Le produit scalaire s'exprime avec l'angle en AA :

AC⃗⋅AB⃗=AC×AB×cos⁡A^=bccos⁡A^\vec{AC} \cdot \vec{AB} = AC \times AB \times \cos\widehat{A} = bc\cos\widehat{A}

En remplaçant, on obtient a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}.

Exemple

Dans un triangle où b=5b=5, c=8c=8 et A^=π3\widehat{A}=\dfrac{\pi}{3} :

a2=25+64−2×5×8×12=49a^2 = 25+64-2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2}=49

donc a=7a=7.

IV. Ensembles de points

Démonstration : Les points MM tels que le produit scalaire MA⃗⋅MB⃗\vec{MA} \cdot \vec{MB} soit nul

On considère deux points fixes AA et BB, et on note II le milieu du segment [AB][AB]. Décomposons les deux vecteurs en passant par II :

MA⃗=MI⃗+IA⃗MB⃗=MI⃗+IB⃗=MI⃗−IA⃗\vec{MA}=\vec{MI}+\vec{IA} \qquad \vec{MB}=\vec{MI}+\vec{IB}=\vec{MI}-\vec{IA}

la dernière égalité venant du fait que II est le milieu. Le produit scalaire devient alors une différence de deux carrés :

MA⃗⋅MB⃗=(MI⃗+IA⃗)⋅(MI⃗−IA⃗)=MI2−IA2\vec{MA} \cdot \vec{MB} = \left(\vec{MI}+\vec{IA}\right)\cdot\left(\vec{MI}-\vec{IA}\right)= MI^2 - IA^2

Ce produit est donc nul si et seulement si MI=IAMI = IA, c'est-à-dire si et seulement si MM appartient au cercle de centre II et de rayon AB2\dfrac{AB}{2}.

L'ensemble cherché est donc le cercle de diamètre [AB][AB], ce qui redonne la propriété du collège : un triangle inscrit dans un cercle avec un diamètre pour côté est rectangle.

MéthodeReconnaître un ensemble de points

Face à une condition du type MA⃗⋅MB⃗=k\vec{MA} \cdot \vec{MB}=k, le réflexe est d'introduire le milieu II de [AB][AB] et de décomposer les vecteurs en passant par ce point. L'expression obtenue ne contient plus qu'une distance MIMI, ce qui décrit un cercle, un point, ou l'ensemble vide selon la valeur de kk.

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