Calcul vectoriel et produit scalaire

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$ et $C(1\,;3)$. On pose $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{AC}$. Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ de quatre façons différentes :

   1. à l'aide des coordonnées ;
   2. à l'aide des normes et de l'angle $\theta=(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$ ;
   3. à l'aide de la projection orthogonale de $C$ sur la droite $(AB)$ ;
   4. à l'aide des normes, en utilisant l'égalité $\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{v}-\vec{u}\|^2\right)$.

   Vérifier que les quatre méthodes donnent le même résultat.

   Voir un indice

   Calculer d'abord les coordonnées de $\vec{u}=(4\,;0)$ et $\vec{v}=(1\,;3)$, ainsi que leurs normes. Pour la projection, remarquer que $(AB)$ est l'axe des abscisses. Pour la dernière méthode, $\vec{v}-\vec{u}=\vec{BC}$.

   Voir la correction

   1. Coordonnées. $\vec{u}=(4\,;0)$ et $\vec{v}=(1\,;3)$, donc

   $$\vec{u}\cdot\vec{v}=4\times 1+0\times 3=4.$$

   2. Normes et angle. $\|\vec{u}\|=4$ et $\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$. Comme $\cos\theta=\dfrac{4\times 1+0\times 3}{4\times\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$, on obtient

   $$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta=4\times\sqrt{10}\times\dfrac{1}{\sqrt{10}}=4.$$

   3. Projection. Le projeté orthogonal de $C(1\,;3)$ sur $(AB)$ (l'axe des abscisses) est $H(1\,;0)$. Alors $\vec{AH}=(1\,;0)$ est de même sens que $\vec{AB}$, et

   $$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{AB}\cdot\vec{AH}=\|\vec{AB}\|\times\overline{AH}=4\times 1=4.$$

   4. Normes. $\vec{v}-\vec{u}=\vec{BC}=C-B=(-3\,;3)$, donc $\|\vec{BC}\|^2=(-3)^2+3^2=18$. Ainsi

   $$\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(16+10-18\right)=\dfrac{1}{2}\times 8=4.$$

   Les quatre méthodes donnent bien $\vec{u}\cdot\vec{v}=4$.

2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;2)$, $B(5\,;4)$ et $C(3\,;8)$.

   1. Calculer le produit scalaire $\vec{BA}\cdot\vec{BC}$.
   2. En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle et préciser en quel sommet.
   3. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ pour $\vec{u}(2\,;3)$ et $\vec{v}(-3\,;2)$. Ces deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?
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   Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Dans un repère orthonormé, $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$.

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   1. $\vec{BA}=A-B=(-4\,;-2)$ et $\vec{BC}=C-B=(-2\,;4)$. Donc

   $$\vec{BA}\cdot\vec{BC}=(-4)\times(-2)+(-2)\times 4=8-8=0.$$

   2. Puisque $\vec{BA}\cdot\vec{BC}=0$, les vecteurs $\vec{BA}$ et $\vec{BC}$ sont orthogonaux : le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. 3. $\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times(-3)+3\times 2=-6+6=0$. Le produit scalaire est nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(0\,;0)$, $B(3\,;4)$ et $C(4\,;3)$.

   1. Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ à l'aide des coordonnées.
   2. Calculer les normes $\|\vec{AB}\|$ et $\|\vec{AC}\|$.
   3. En déduire une valeur approchée, au dixième de degré, de l'angle $\widehat{BAC}$.
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   Utiliser $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\cos\widehat{BAC}$ pour isoler $\cos\widehat{BAC}$, puis la touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice.

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   1. $\vec{AB}=(3\,;4)$ et $\vec{AC}=(4\,;3)$, donc

   $$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=3\times 4+4\times 3=12+12=24.$$

   2. $\|\vec{AB}\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ et $\|\vec{AC}\|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$. 3. On a

   $$\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|}=\dfrac{24}{5\times 5}=\dfrac{24}{25}=0{,}96.$$

   Donc $\widehat{BAC}=\cos^{-1}(0{,}96)\approx 16{,}3^{\circ}$.

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\|=6$, $\|\vec{v}\|=4$ et l'angle entre eux vaut $60^{\circ}$.

   1. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$.
   2. En développant $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2$ et $\|\vec{u}-\vec{v}\|^2$, calculer les longueurs $\|\vec{u}+\vec{v}\|$ et $\|\vec{u}-\vec{v}\|$ (valeurs exactes puis approchées).
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   Rappels : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$ et $\|\vec{u}-\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$.

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   1. $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos 60^{\circ}=6\times 4\times\dfrac{1}{2}=12.$ 2. Développement de la somme :

   $$\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=6^2+2\times 12+4^2=36+24+16=76,$$

   d'où $\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{76}=2\sqrt{19}\approx 8{,}72$. Développement de la différence :

   $$\|\vec{u}-\vec{v}\|^2=6^2-2\times 12+4^2=36-24+16=28,$$

   d'où $\|\vec{u}-\vec{v}\|=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\approx 5{,}29$.

5. 5

   Formule d'Al-Kashi dans un triangle

   Moyen

   Dans un triangle $ABC$, on donne $AB=7$, $AC=5$ et $\widehat{BAC}=60^{\circ}$.

   1. À l'aide de la formule d'Al-Kashi, calculer la longueur $BC$ (valeur exacte puis approchée).
   2. Calculer une valeur approchée, au dixième de degré, de l'angle $\widehat{ABC}$.
   3. En déduire l'angle $\widehat{ACB}$.
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   Al-Kashi : $BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}$. Pour l'angle en $B$, réutiliser la formule d'Al-Kashi en isolant le cosinus.

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6. 6

   Produit scalaire et angle

   Moyen

   Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(-1\,;2)$, $B(3\,;-1)$ et $C(4\,;5)$.

   1. Calculer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$.
   2. Calculer le produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$.
   3. En déduire une valeur approchée, au dixième de degré, de l'angle $\widehat{BAC}$.
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   Calculer les coordonnées de chaque vecteur, puis appliquer la formule des normes et celle du produit scalaire en base orthonormée.

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7. 7

   Identité du produit scalaire

   Moyen

   Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1\,;2)$ et $B(5\,;4)$. On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $M$ un point du plan.

   1. Établir l'égalité $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$.
   2. Calculer $AB^2$ et les coordonnées de $I$.
   3. En utilisant la formule précédente, calculer $\vec{MA}\cdot\vec{MB}$ lorsque $M$ est l'origine $O(0\,;0)$, puis vérifier le résultat par un calcul direct de coordonnées.
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   Écrire $\vec{MA}=\vec{MI}+\vec{IA}$ et $\vec{MB}=\vec{MI}+\vec{IB}$, avec $\vec{IB}=-\vec{IA}$ et $\|\vec{IA}\|=\dfrac{AB}{2}$.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(1\,;-1)$ et $B(5\,;3)$. Déterminer l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M(x\,;y)$ du plan tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$, puis reconnaître cet ensemble géométriquement.

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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   Soit $ABC$ un triangle. On note $H$ le point d'intersection de la hauteur issue de $A$ et de la hauteur issue de $B$.

   1. Traduire par des produits scalaires nuls le fait que $H$ appartient à la hauteur issue de $A$, puis à la hauteur issue de $B$.
   2. Démontrer l'identité $\vec{HA}\cdot\vec{BC}+\vec{HB}\cdot\vec{CA}+\vec{HC}\cdot\vec{AB}=\vec{0}\cdot\vec{0}=0$.
   3. En déduire que $(CH)$ est la hauteur issue de $C$, c'est-à-dire que les trois hauteurs du triangle sont concourantes.
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