Ascension Maths

I. Le quotient de deux différences d'affixes

Une seule quantité concentre l'essentiel des applications géométriques : le quotient formé à partir des affixes de trois points. Son module donne un rapport de longueurs, son argument un angle.

PropriétéInterprétation

On considère trois points distincts $A$ , $B$ , $C$ d'affixes respectives $a$ , $b$ , $c$ . Alors

\left|\frac{c-a}{b-a}\right|=\frac{AC}{AB} \qquad \text{et} \qquad \arg\!\left(\frac{c-a}{b-a}\right)=\big(\vec{AB}\,,\,\vec{AC}\big)

à un multiple de $2\pi$ près. Le module compare deux longueurs issues de $A$ , l'argument mesure l'angle entre les deux directions.

MéthodeTraduire une condition géométrique

condition	traduction
$A$ , $B$ , $C$ alignés	le quotient est réel
$(AB)$ et $(AC)$ perpendiculaires	le quotient est imaginaire pur
triangle $ABC$ isocèle en $A$	le module du quotient vaut $1$
triangle $ABC$ équilatéral	le module vaut $1$ et l'argument vaut $\pm\dfrac{\pi}{3}$
triangle $ABC$ rectangle isocèle en $A$	le quotient vaut $\pm\mathrm{i}$

Chaque ligne se retrouve en revenant à l'interprétation du module et de l'argument, sans avoir à mémoriser le tableau.

Exemple

Soient $A$ , $B$ , $C$ d'affixes $a=1+\mathrm{i}$ , $b=4+\mathrm{i}$ et $c=1+4\mathrm{i}$ . Alors

\frac{c-a}{b-a}=\frac{3\mathrm{i}}{3}=\mathrm{i}

Le quotient vaut $\mathrm{i}$ : son module vaut $1$ et son argument $\dfrac{\pi}{2}$ . Le triangle est donc rectangle isocèle en $A$ .

II. Écritures complexes de transformations

PropriétéTrois transformations usuelles

La transformation qui à un point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$ est :

une translation de vecteur d'affixe $t$ lorsque $z'=z+t$ ;

une rotation de centre l'origine et d'angle $\theta$ lorsque $z'=\text{e}^{\mathrm{i}\theta}z$ ;

une homothétie de centre l'origine et de rapport $k$ réel lorsque $z'=kz$ .

Multiplier par un complexe de module $r$ et d'argument $\theta$ combine donc une rotation et un agrandissement.

Exemple

L'image du point d'affixe $z$ par la rotation de centre l'origine et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ a pour affixe $\mathrm{i}z$ , puisque $\text{e}^{\mathrm{i}\pi/2}=\mathrm{i}$ .

Cette lecture explique pourquoi le quotient valait $\mathrm{i}$ dans l'exemple précédent : le point $C$ est l'image de $B$ par le quart de tour de centre $A$ .

III. Racines $n$ -ièmes de l'unité

DéfinitionDéfinition

On appelle racine $n$ -ième de l'unité tout nombre complexe $z$ vérifiant

z^n = 1

L'ensemble de ces nombres se note $\mathbb{U}_n$ .

Démonstration : Détermination de

\mathbb{U}_n

Soit $z$ un complexe vérifiant $z^n=1$ . En passant aux modules, $|z|^n=1$ , et comme $|z|$ est un réel positif, on obtient $|z|=1$ .

Le nombre $z$ s'écrit donc $z = \text{e}^{\mathrm{i}\theta}$ , et la condition devient

\text{e}^{\mathrm{i}n\theta}=1

Cette égalité équivaut à dire que $n\theta$ est un multiple de $2\pi$ , c'est-à-dire qu'il existe un entier $k$ tel que

\theta = \frac{2k\pi}{n}

Les valeurs $k=0,1,\ldots,n-1$ donnent des nombres deux à deux distincts, et toute autre valeur de $k$ redonne l'un d'eux. Ainsi

\mathbb{U}_n = \left\{\text{e}^{\frac{2\mathrm{i}k\pi}{n}}\;;\;k = 0,1,\ldots,n-1\right\}

Cet ensemble compte donc exactement $n$ éléments.

PropriétéReprésentation géométrique

Les images des racines $n$ -ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique, dont l'un des sommets est le point d'affixe $1$ .

Pour $n=2$ , ce sont $1$ et $-1$ . Pour $n=3$ , un triangle équilatéral. Pour $n=4$ , le carré formé par $1$ , $\mathrm{i}$ , $-1$ et $-\mathrm{i}$ .

PropriétéSomme des racines

Pour $n \geqslant 2$ , la somme des racines $n$ -ièmes de l'unité est nulle.

Ce résultat se lit sur la figure : les sommets d'un polygone régulier centré à l'origine se compensent deux à deux ou par symétrie.

Exemple

Pour $n=3$ , les racines cubiques de l'unité sont

1 \qquad \text{e}^{\frac{2\mathrm{i}\pi}{3}}=-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \text{e}^{\frac{4\mathrm{i}\pi}{3}}=-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}

Ce sont bien les solutions trouvées en factorisant $z^3-1$ par $z-1$ dans le chapitre sur les équations polynomiales.

Utilisation des nombres complexes en géométrie

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Le quotient de deux différences d'affixes

II. Écritures complexes de transformations

III. Racines $n$ -ièmes de l'unité

Utilisation des nombres complexes en géométrie

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Le quotient de deux différences d'affixes

II. Écritures complexes de transformations

III. Racines nnn-ièmes de l'unité

III. Racines $n$ -ièmes de l'unité