Utilisation des nombres complexes en géométrie

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\,;\vec{u},\vec{v})$. On considère les points $A$, $B$, $C$, $D$ d'affixes respectives

   $$a=1+\mathrm{i},\qquad b=3+2\mathrm{i},\qquad c=7+4\mathrm{i},\qquad d=3\mathrm{i}.$$

   1. En calculant le quotient $\dfrac{c-a}{b-a}$, démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
   2. En calculant le quotient $\dfrac{d-a}{b-a}$, démontrer que les droites $(AB)$ et $(AD)$ sont perpendiculaires.
   3. Interpréter dans chaque cas la valeur du module et d'un argument du quotient.
   Voir un indice

   Pour trois points distincts, $\dfrac{c-a}{b-a}\in\mathbb{R}^\ast$ équivaut à l'alignement, et $\dfrac{c-a}{b-a}\in\mathrm{i}\mathbb{R}^\ast$ équivaut à l'orthogonalité des droites $(AB)$ et $(AC)$. Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

   Voir la correction

   1. On a $c-a=6+3\mathrm{i}=3(2+\mathrm{i})$ et $b-a=2+\mathrm{i}$, donc $\frac{c-a}{b-a}=\frac{3(2+\mathrm{i})}{2+\mathrm{i}}=3\in\mathbb{R}^\ast .$ Le quotient étant un réel non nul, les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. De plus $\vec{AC}=3\,\vec{AB}$.
   2. On a $d-a=3\mathrm{i}-(1+\mathrm{i})=-1+2\mathrm{i}$ et $b-a=2+\mathrm{i}$, donc $\frac{d-a}{b-a}=\frac{-1+2\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}=\frac{(-1+2\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})} =\frac{-2+\mathrm{i}+4\mathrm{i}+2}{5}=\frac{5\mathrm{i}}{5}=\mathrm{i}.$ Le quotient est imaginaire pur non nul : les droites $(AB)$ et $(AD)$ sont perpendiculaires.
   3. Le module de $\dfrac{c-a}{b-a}$ vaut $\dfrac{AC}{AB}=3$ (rapport des longueurs) et son argument $0$ mesure l'angle orienté $\left(\vec{AB},\vec{AC}\right)$, nul car les points sont alignés dans le même sens. Le module de $\dfrac{d-a}{b-a}$ vaut $\dfrac{AD}{AB}=1$ et son argument $\dfrac{\pi}{2}$ mesure l'angle $\left(\vec{AB},\vec{AD}\right)$ : angle droit.
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   On note $j=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}$. Soit $A$, $B$, $C$ trois points deux à deux distincts d'affixes $a$, $b$, $c$.

   1. Rappeler pourquoi $1+j+j^2=0$ et $j^3=1$.
   2. Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral de sens direct (c'est-à-dire tel que $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$) si et seulement si $\frac{c-a}{b-a}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}.$
   3. En déduire que $ABC$ est équilatéral de sens direct si et seulement si $a+jb+j^2c=0$.
   Voir un indice

   Pour la question 3, partir de $a+jb+j^2c=0$, isoler $c$ à l'aide de $j^3=1$ (donc $\frac{1}{j^2}=j$), et utiliser $1+j=-j^2$ ainsi que $-j^2=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}$.

   Voir la correction

   1. $j$ est une racine cubique de l'unité, donc $j^3=1$. Comme $j\neq 1$ et $j^3-1=(j-1)(j^2+j+1)=0$, on obtient $1+j+j^2=0$.
   2. Dire que $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ signifie exactement $c-a=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}(b-a)$, soit, puisque $b\neq a$, $\dfrac{c-a}{b-a}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}$. Réciproquement cette égalité fournit une rotation d'angle $\frac{\pi}{3}$ et de rapport $1$, donc $AB=AC$ et un angle de $\frac{\pi}{3}$ en $A$ : le triangle est équilatéral direct.
   3. Notons que $-j^2=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\pi/3}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}$. Supposons $a+jb+j^2c=0$. Alors $c=-\dfrac{a+jb}{j^2}=-j(a+jb)=-ja-j^2b$ (car $\frac{1}{j^2}=j$). Donc $c-a=-ja-j^2b-a=-a(1+j)-j^2b=aj^2-j^2b=j^2(a-b)=-j^2(b-a),$ en utilisant $1+j=-j^2$. Ainsi $\dfrac{c-a}{b-a}=-j^2=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}$, ce qui, d'après la question 2, caractérise un triangle équilatéral direct. Toutes les étapes étant des équivalences, on conclut.
3. 3

   Exercice 3

   Facile
   1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3=1$ et donner l'ensemble $\mathbb{U}_3$ sous forme exponentielle et sous forme algébrique.
   2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^4=1$ et donner l'ensemble $\mathbb{U}_4$.
   3. Représenter les éléments de $\mathbb{U}_3$ et de $\mathbb{U}_4$ sur le cercle unité. Quels polygones réguliers obtient-on ?
   4. Vérifier dans chaque cas que la somme des éléments est nulle.
   Voir un indice

   Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les $\mathrm{e}^{2\mathrm{i}k\pi/n}$ pour $k\in\{0,1,\dots,n-1\}$. Elles sont sur le cercle unité et régulièrement espacées.

   Voir la correction

   1. Les solutions de $z^3=1$ sont $\mathrm{e}^{2\mathrm{i}k\pi/3}$ pour $k\in\{0,1,2\}$ : $\mathbb{U}_3=\left\{1,\ \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3},\ \mathrm{e}^{4\mathrm{i}\pi/3}\right\} =\left\{1,\ -\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}\mathrm{i},\ -\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}\right\}.$
   2. Les solutions de $z^4=1$ sont $\mathrm{e}^{2\mathrm{i}k\pi/4}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}k\pi/2}$ pour $k\in\{0,1,2,3\}$ : $\mathbb{U}_4=\{1,\ \mathrm{i},\ -1,\ -\mathrm{i}\}.$
   3. Tous ces points sont sur le cercle unité. $\mathbb{U}_3$ forme un triangle équilatéral inscrit et $\mathbb{U}_4$ un carré inscrit.
   4. Pour $\mathbb{U}_3$ : $1+\left(-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}\right)+\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}\right)=0$. Pour $\mathbb{U}_4$ : $1+\mathrm{i}-1-\mathrm{i}=0$.
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Soit $n\geq 2$ un entier. On pose $\omega=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}$ et on considère les racines $n$-ièmes de l'unité $\omega_k=\omega^{k}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}k\pi/n}$ pour $k\in\{0,\dots,n-1\}$.

   1. Démontrer que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k=0$.
   2. En supposant de plus $n\geq 3$ (de sorte que les $\omega_k$ forment bien les sommets d'un polygone régulier), en déduire que le centre de gravité (isobarycentre) de ces sommets est le centre du cercle.
   Voir un indice

   Reconnaître une somme géométrique de raison $\omega\neq 1$. Se souvenir que $\omega^n=1$.

   Voir la correction

   1. Comme $n\geq 2$, on a $\omega=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}\neq 1$. La somme est géométrique de raison $\omega$ : $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{k}=\frac{\omega^{n}-1}{\omega-1}=\frac{1-1}{\omega-1}=0,$ car $\omega^{n}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi}=1$.
   2. Un polygone régulier de centre $\Omega$ (affixe $z_\Omega$) et de rayon $R$ a pour sommets les points d'affixes $z_k=z_\Omega+R\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\,\omega_k$ pour un angle initial $\alpha$. L'affixe de l'isobarycentre est $\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}z_k=z_\Omega+\frac{R\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k=z_\Omega,$ d'après la question 1. L'isobarycentre coïncide donc avec le centre $\Omega$.
5. 5

   Carré et affixes des sommets

   Moyen

   Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes $a=1+2\mathrm{i}$ et $b=4+\mathrm{i}$.

   1. Déterminer l'affixe $c$ du point $C$ et l'affixe $d$ du point $D$ pour que $ABCD$ soit un carré de sens direct (sommets nommés dans cet ordre en parcourant le carré dans le sens trigonométrique).
   2. Calculer $\dfrac{c-b}{a-b}$ et interpréter géométriquement ce résultat.
   3. Déterminer l'affixe du centre du carré.
   Voir un indice

   Pour un carré direct $ABCD$, le côté $\vec{AD}$ s'obtient à partir du côté $\vec{AB}$ par la rotation d'angle $+\frac{\pi}{2}$ : $d-a=\mathrm{i}(b-a)$. Le point $C$ vérifie $\vec{BC}=\vec{AD}$.

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6. 6

   Lieux d'un rapport réel ou imaginaire

   Moyen

   Soit $A$ et $B$ les points d'affixes $a=\mathrm{i}$ et $b=1$. À tout point $M$ d'affixe $z$ (avec $z\neq 1$) on associe le nombre complexe

   $$Z=\frac{z-\mathrm{i}}{z-1}.$$

   1. Déterminer et représenter l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ tels que $Z$ soit réel.
   2. Déterminer et représenter l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $M$ tels que $Z$ soit imaginaire pur.
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   Interpréter $Z=\dfrac{z-a}{z-b}$ à l'aide des vecteurs $\vec{BM}$ et $\vec{AM}$. Un argument de $Z$ mesure l'angle $\left(\vec{BM},\vec{AM}\right)$. « $Z$ réel » signifie cet angle nul ou plat ; « $Z$ imaginaire pur » signifie angle droit.

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7. 7

   Racines $n$-ièmes de l'unité

   Moyen

   Détermination de $\mathbb{U}_n$. Soit $n\geq 1$ un entier. On note $\mathbb{U}_n=\{z\in\mathbb{C}\ :\ z^n=1\}$.

   1. Démontrer que tout élément de $\mathbb{U}_n$ est de module $1$.
   2. En posant $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, démontrer que $\mathbb{U}_n=\left\{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}k\pi/n}\ :\ k\in\{0,1,\dots,n-1\}\right\},$ et que ces $n$ nombres sont deux à deux distincts.
   3. Démontrer que $\mathbb{U}_n$ est stable par produit et par passage à l'inverse (structure de groupe).
   Voir un indice

   Si $z^n=1$ alors $|z|^n=1$ avec $|z|\geq 0$ réel. Ensuite $\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}=1$ équivaut à $n\theta\equiv 0\ [2\pi]$.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   Lignes trigonométriques de $\frac{2\pi}{5}$ et pentagone régulier. On pose $\omega=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/5}$.

   1. Justifier que $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0$.
   2. On pose $S=\omega+\omega^4$ et $P=\omega^2+\omega^3$. Démontrer que $S$ et $P$ sont réels, puis calculer $S+P$ et $SP$.
   3. En déduire que $S$ et $P$ sont les racines de l'équation $X^2+X-1=0$, puis que $\cos\!\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt5-1}{4}.$
   4. Expliquer brièvement pourquoi cette valeur, faisant intervenir $\sqrt5$, garantit que le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   Racines $n$-ièmes d'un nombre complexe. On veut résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3=-2+2\mathrm{i}$.

   1. Écrire $-2+2\mathrm{i}$ sous forme exponentielle.
   2. En déduire toutes les solutions de l'équation sous forme exponentielle, puis vérifier que l'une d'elles est $1+\mathrm{i}$.
   3. Démontrer que les images des trois solutions sont les sommets d'un triangle équilatéral et préciser son centre et le rayon du cercle circonscrit.
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