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Cours de Maths expertes

Nombres complexes : point de vue géométrique

Affixes, module et arguments, forme trigonométrique, et la traduction géométrique des opérations sur les complexes.

Avant de commencer

  • •Calculer sous forme algébrique et utiliser le conjugué.
  • •Connaître le cercle trigonométrique et les valeurs remarquables.

À la fin du chapitre, tu sais

  • •Placer l'image d'un nombre complexe dans le plan.
  • •Calculer un module et l'interpréter comme une distance.
  • •Déterminer un argument et écrire la forme trigonométrique.
  • •Traduire une condition géométrique par une égalité sur les modules ou les arguments.
Sommaire

I. Images et affixes

Un nombre complexe est déterminé par deux réels, tout comme un point du plan par ses coordonnées. Cette correspondance donne une lecture géométrique de tous les calculs du chapitre précédent.

DéfinitionImage et affixe

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct. Au nombre complexe z=a+ibz=a+\mathrm{i}b on associe le point MM de coordonnées (a ;b)(a\,;b), appelé image de zz. Réciproquement, zz s'appelle l'affixe du point MM.

De même, l'affixe du vecteur u⃗\vec{u} de coordonnées (a ;b)(a\,;b) est le complexe a+iba+\mathrm{i}b.

L'image du conjugué z‾\overline{z} est le symétrique de MM par rapport à l'axe des abscisses.

PropriétéAffixes et vecteurs

Si AA et BB ont pour affixes zAz_A et zBz_B, alors le vecteur AB⃗\vec{AB} a pour affixe

zB−zAz_B-z_A

et le milieu de [AB][AB] a pour affixe zA+zB2\dfrac{z_A+z_B}{2}.

L'addition des complexes correspond donc à l'addition des vecteurs.

II. Module

DéfinitionModule

Le module du nombre complexe z=a+ibz=a+\mathrm{i}b est le réel positif

∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2}

C'est la distance de l'origine à l'image de zz. Plus généralement, ∣zB−zA∣|z_B-z_A| est la distance ABAB.

Démonstration : Relation entre module et conjugué

Pour z=a+ibz=a+\mathrm{i}b, le produit de zz par son conjugué vaut

z z‾=(a+ib)(a−ib)=a2−(ib)2=a2+b2z\,\overline{z}=(a+\mathrm{i}b)(a-\mathrm{i}b)=a^2-(\mathrm{i}b)^2=a^2+b^2

Or ∣z∣2=a2+b2|z|^2 = a^2+b^2 par définition du module. Donc

∣z∣2=z z‾|z|^2=z\,\overline{z}
PropriétéModule d'un produit, d'un quotient, d'une puissance

Pour tous complexes zz et z′z', le second étant non nul dans le quotient, et tout entier naturel nn :

∣zz′∣=∣z∣ ∣z′∣∣zz′∣=∣z∣∣z′∣∣zn∣=∣z∣n|zz'|=|z|\,|z'| \qquad \left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|} \qquad |z^n|=|z|^n
Démonstration : Module d'un produit

Utilisons la relation démontrée plus haut ainsi que la compatibilité de la conjugaison avec le produit :

∣zz′∣2=(zz′)(zz′)‾=z z′ z‾  z′‾=(zz‾)(z′z′‾)=∣z∣2∣z′∣2|zz'|^2 = (zz')\overline{(zz')}=z\,z'\,\overline{z}\;\overline{z'}=(z\overline{z})(z'\overline{z'})=|z|^2|z'|^2

Les modules étant des réels positifs, on peut passer à la racine carrée :

∣zz′∣=∣z∣ ∣z′∣|zz'|=|z|\,|z'|

La formule pour une puissance s'en déduit en répétant nn fois ce résultat.

DéfinitionL'ensemble U\mathbb{U}

L'ensemble des nombres complexes de module 11 se note U\mathbb{U}. Ses images forment le cercle de centre l'origine et de rayon 11.

Le produit de deux éléments de U\mathbb{U} appartient encore à U\mathbb{U}, et l'inverse d'un élément de U\mathbb{U} également, comme le montrent les règles de calcul sur les modules.

III. Arguments et forme trigonométrique

DéfinitionArgument

Soit zz un nombre complexe non nul, d'image MM. Un argument de zz est une mesure, en radians, de l'angle orienté entre l'axe des abscisses et le vecteur OM⃗\vec{OM}. On le note arg⁡(z)\arg(z).

Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments, qui diffèrent d'un multiple de 2π2\pi.

PropriétéForme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul zz, de module rr et d'argument θ\theta, s'écrit

z=r (cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\,(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)

Réciproquement, si z=a+ibz=a+\mathrm{i}b, alors

r=a2+b2cos⁡θ=arsin⁡θ=brr = \sqrt{a^2+b^2} \qquad \cos\theta = \frac{a}{r} \qquad \sin\theta = \frac{b}{r}
MéthodePasser de la forme algébrique à la forme trigonométrique
  1. Calculer le module rr.
  2. Factoriser par rr pour faire apparaître le cosinus et le sinus de l'argument.
  3. Reconnaître l'angle à partir des valeurs remarquables, en s'aidant du cercle trigonométrique pour choisir le bon quadrant.
Exemple

Soit z=1+i3z=1+\mathrm{i}\sqrt{3}. Son module vaut

∣z∣=1+3=2|z|=\sqrt{1+3}=2

En factorisant, z=2(12+i32)z = 2\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Le cosinus vaut 12\dfrac{1}{2} et le sinus 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}, donc l'argument est π3\dfrac{\pi}{3}, et

z=2(cos⁡π3+isin⁡π3)z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)
PropriétéArguments et opérations

Pour deux complexes non nuls zz et z′z' :

arg⁡(zz′)=arg⁡(z)+arg⁡(z′)arg⁡ ⁣(zz′)=arg⁡(z)−arg⁡(z′)\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') \qquad \arg\!\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')

à un multiple de 2π2\pi près. Multiplier deux complexes revient donc à multiplier les modules et à additionner les arguments : c'est une similitude, composée d'un agrandissement et d'une rotation.

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