Nombres complexes — point de vue géométrique

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O\,;\vec{u},\vec{v})$.

   1. Placer les points $A$, $B$, $C$, $D$ d'affixes respectives $z_A = 3+2i,\qquad z_B = -1+2i,\qquad z_C = -2-3i,\qquad z_D = \overline{z_A}.$
   2. Déterminer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$, puis la longueur $AB$.
   3. Déterminer l'affixe du milieu $I$ du segment $[BC]$.
   4. Déterminer l'affixe du point $E$ tel que $ABEC$ soit un parallélogramme.
   Voir un indice

   L'affixe d'un vecteur $\overrightarrow{MN}$ est $z_N - z_M$ ; la longueur $MN$ vaut $|z_N - z_M|$. Pour un parallélogramme $ABEC$, traduire l'égalité vectorielle $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CE}$.

   Voir la correction

   1. Le point $D$ a pour affixe $z_D = \overline{3+2i} = 3-2i$ : c'est le symétrique de $A$ par rapport à l'axe des abscisses. Les points se placent sans difficulté.
   2. L'affixe de $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A = (-1+2i)-(3+2i) = -4.$ Ce vecteur est réel : $\overrightarrow{AB}$ est horizontal. La longueur vaut $AB = |{-4}| = 4$.
   3. Le milieu $I$ de $[BC]$ a pour affixe $z_I = \frac{z_B + z_C}{2} = \frac{(-1+2i)+(-2-3i)}{2} = \frac{-3 - i}{2} = -\tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2}i.$
   4. $ABEC$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CE}$, c'est-à-dire $z_B - z_A = z_E - z_C$, d'où $z_E = z_C + (z_B - z_A) = (-2-3i) + (-4) = -6 - 3i.$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :

   $$z_1 = 3-4i,\qquad z_2 = -\sqrt{3}+i,\qquad z_3 = (1+i)(2-i),\qquad z_4 = \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}.$$
   Voir un indice

   Pour $z_3$ et $z_4$, utiliser la multiplicativité du module : $|zz'| = |z|\,|z'|$ et $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$, plutôt que de développer.

   Voir la correction

   • $|z_1| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.$
   • $|z_2| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2.$
   • Par multiplicativité, $|z_3| = |1+i|\,|2-i| = \sqrt{2}\times\sqrt{5} = \sqrt{10}.$
   • De même, $|z_4| = \frac{|1+i\sqrt{3}|}{|1-i|} = \frac{\sqrt{1+3}}{\sqrt{1+1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.$
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Déterminer le module et un argument, puis écrire sous forme trigonométrique, chacun des nombres complexes suivants :

   $$z_1 = -1+i,\qquad z_2 = -2i,\qquad z_3 = -\sqrt{3}-i,\qquad z_4 = 1+i\sqrt{3}.$$
   Voir un indice

   Écrire $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z| > 0$. Le réel $\theta$ vérifie $\cos\theta = \dfrac{\operatorname{Re}(z)}{r}$ et $\sin\theta = \dfrac{\operatorname{Im}(z)}{r}$ ; un dessin permet de choisir le bon quadrant.

   Voir la correction

   • $|z_1| = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. Alors $\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ : $\theta = \frac{3\pi}{4}$. D'où $z_1 = \sqrt{2}\left(\cos\tfrac{3\pi}{4} + i\sin\tfrac{3\pi}{4}\right).$
   • $|z_2| = 2$. On a $z_2 = 2(\cos(-\tfrac{\pi}{2}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{2}))$, un argument est $-\frac{\pi}{2}$.
   • $|z_3| = \sqrt{3+1} = 2$. Alors $\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta = -\frac{1}{2}$ : $\theta = -\frac{5\pi}{6}$ (soit $\frac{7\pi}{6}$). D'où $z_3 = 2\left(\cos\left(-\tfrac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\tfrac{5\pi}{6}\right)\right).$
   • $|z_4| = \sqrt{1+3} = 2$. Alors $\cos\theta = \frac{1}{2}$ et $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ : $\theta = \frac{\pi}{3}$. D'où $z_4 = 2\left(\cos\tfrac{\pi}{3} + i\sin\tfrac{\pi}{3}\right).$
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On note $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$.

   1. Montrer que si $z \in \mathbb{U}$, alors $\dfrac{1}{z} = \overline{z}$.
   2. En déduire que $\mathbb{U}$ est stable par passage à l'inverse : si $z \in \mathbb{U}$, alors $\dfrac{1}{z} \in \mathbb{U}$.
   3. Montrer que $\mathbb{U}$ est stable par produit : si $z$ et $z'$ appartiennent à $\mathbb{U}$, alors $zz' \in \mathbb{U}$.
   4. Le nombre $j = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ appartient-il à $\mathbb{U}$ ? Calculer $j^2$ et $j^3$, et commenter.
   Voir un indice

   Utiliser la relation fondamentale $z\overline{z} = |z|^2$. Pour la question 4, calculer $|j|$, puis utiliser $j^2 = \overline{j}$ si $j \in \mathbb{U}$.

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   1. Pour tout $z \neq 0$, $z\overline{z} = |z|^2$. Si $z \in \mathbb{U}$, alors $|z|^2 = 1$, donc $z\overline{z} = 1$, ce qui donne $\dfrac{1}{z} = \overline{z}$.
   2. Comme $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|} = \dfrac{1}{1} = 1$, on a bien $\dfrac{1}{z} \in \mathbb{U}$.
   3. $|zz'| = |z|\,|z'| = 1\times 1 = 1$, donc $zz' \in \mathbb{U}$.
   4. $|j| = \sqrt{\left(-\tfrac12\right)^2 + \left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac14 + \tfrac34} = 1$, donc $j \in \mathbb{U}$. On calcule $j^2 = \left(-\tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2}i\right)^2 = \tfrac14 - \tfrac{\sqrt3}{2}i - \tfrac34 = -\tfrac12 - \tfrac{\sqrt3}{2}i = \overline{j}.$ Puis $j^3 = j\cdot j^2 = j\,\overline{j} = |j|^2 = 1$. Ainsi $j$ est une racine cubique de l'unité, de module $1$ : la stabilité par produit garantissait déjà $j^2, j^3 \in \mathbb{U}$.
5. 5

   Forme trigonométrique et cosinus exacts

   Moyen

   On considère le nombre complexe $z = 1 + \sqrt{3} + i(1 - \sqrt{3})$.

   1. Vérifier que $z = (1+i)(1 - i\sqrt{3})$.
   2. En déduire le module et un argument de $z$.
   3. Écrire $z$ sous forme trigonométrique.
   4. En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)$.
   Voir un indice

   Écrire chaque facteur sous forme trigonométrique et utiliser que le module d'un produit est le produit des modules, tandis qu'un argument d'un produit est la somme des arguments. Pour la dernière question, identifier partie réelle et partie imaginaire.

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6. 6

   Transformation homographique et cercle

   Moyen

   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. À tout point $M$ d'affixe $z \neq -1$, on associe le point $M'$ d'affixe

   $$z' = \frac{z - 1}{z + 1}.$$

   1. Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ tels que $M'$ appartienne à $\mathbb{U}$ (module de $z'$ égal à $1$).
   2. Décrire géométriquement cet ensemble.
   Voir un indice

   $|z'| = 1$ équivaut à $|z-1| = |z+1|$. Interpréter chaque module comme une distance : $|z-1| = AM$ où $A$ a pour affixe $1$, et $|z+1| = BM$ où $B$ a pour affixe $-1$.

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7. 7

   Module et argument de $1+e^{i\theta}$

   Moyen

   Soit $\theta \in \left]0\,;\pi\right[$ et $z = 1 + \cos\theta + i\sin\theta$.

   1. À l'aide des formules de duplication, montrer que $z = 2\cos\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\left(\cos\tfrac{\theta}{2} + i\sin\tfrac{\theta}{2}\right).$
   2. En déduire le module et un argument de $z$ (on justifiera le signe de $\cos\frac{\theta}{2}$).
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   Utiliser $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}$ et $\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$, puis factoriser par $2\cos\frac{\theta}{2}$. Étudier le signe de $\cos\frac{\theta}{2}$ pour $\theta \in \left]0\,;\pi\right[$.

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8. 8

   Inégalité triangulaire et cas d'égalité

   Difficile

   Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes.

   1. Montrer que $|z + z'|^2 = |z|^2 + 2\operatorname{Re}(z\overline{z'}) + |z'|^2$.
   2. En déduire l'inégalité triangulaire $|z + z'| \leqslant |z| + |z'|$.
   3. On suppose désormais $z \neq 0$ et $z' \neq 0$. Montrer que l'égalité $|z+z'| = |z| + |z'|$ a lieu si et seulement si $\dfrac{z'}{z}$ est un réel strictement positif.
   4. Interpréter géométriquement ce cas d'égalité.
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9. 9

   Étude d'une suite complexe

   Difficile

   On considère la suite $(z_n)$ définie par $z_0 = 4$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$,

   $$z_{n+1} = \frac{1+i}{2}\,z_n + 1.$$

   On note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

   1. Déterminer l'unique nombre complexe $\ell$ vérifiant $\ell = \dfrac{1+i}{2}\,\ell + 1$.
   2. On pose $u_n = z_n - \ell$. Montrer que $(u_n)$ est géométrique ; préciser sa raison $q$ et son premier terme.
   3. Déterminer $|q|$ et un argument de $q$.
   4. Exprimer $|u_n|$ en fonction de $n$, puis déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} |u_n|$. Interpréter géométriquement le comportement de la suite de points $(M_n)$.
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