Ascension Maths
06 12 30 41 37
Cours de Maths expertes

Nombres complexes : point de vue algébrique

L'ensemble des nombres complexes, les opérations, la conjugaison et l'inverse, avec la formule du binôme.

Avant de commencer

  • •Développer avec les identités remarquables.
  • •Résoudre une équation du second degré à coefficients réels.

À la fin du chapitre, tu sais

  • •Calculer avec les nombres complexes sous forme algébrique.
  • •Déterminer partie réelle et partie imaginaire.
  • •Utiliser le conjugué pour écrire un inverse ou un quotient.
  • •Appliquer la formule du binôme dans C\mathbb{C}.
Sommaire

I. L'ensemble des nombres complexes

L'équation x2=−1x^2=-1 n'a pas de solution réelle, ce qui bloque la résolution de nombreux problèmes. La construction des nombres complexes consiste à élargir R\mathbb{R} en un ensemble où cette équation a une solution, sans rien perdre des règles de calcul habituelles.

DéfinitionNombre complexe

Il existe un ensemble C\mathbb{C}, contenant R\mathbb{R}, muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R\mathbb{R}, et contenant un élément i\mathrm{i} vérifiant

i2=−1\mathrm{i}^2=-1

Tout nombre complexe zz s'écrit alors de manière unique sous la forme

z=a+ibavec a et b reˊelsz = a+\mathrm{i}b \qquad \text{avec } a \text{ et } b \text{ réels}

Cette écriture s'appelle la forme algébrique de zz. Le réel aa est sa partie réelle, notée Re(z)\text{Re}(z), et le réel bb sa partie imaginaire, notée Im(z)\text{Im}(z).

Attention

La partie imaginaire est un nombre réel : pour z=3+5iz=3+5\mathrm{i}, la partie imaginaire vaut 55, et non 5i5\mathrm{i}.

Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est dit imaginaire pur.

PropriétéÉgalité

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires aussi.

En particulier, z=0z=0 si et seulement si Re(z)=0\text{Re}(z)=0 et Im(z)=0\text{Im}(z)=0. Une équation complexe équivaut donc à un système de deux équations réelles.

II. Opérations

PropriétéSomme et produit

Les calculs se mènent comme avec des expressions littérales, en remplaçant i2\mathrm{i}^2 par −1-1 chaque fois qu'il apparaît.

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)(a+\mathrm{i}b)+(c+\mathrm{i}d)=(a+c)+\mathrm{i}(b+d) (a+ib)(c+id)=(ac−bd)+i(ad+bc)(a+\mathrm{i}b)(c+\mathrm{i}d)=(ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc)
Exemple
(2+3i)(1−4i)=2−8i+3i−12i2=2−5i+12=14−5i(2+3\mathrm{i})(1-4\mathrm{i})=2-8\mathrm{i}+3\mathrm{i}-12\mathrm{i}^2=2-5\mathrm{i}+12=14-5\mathrm{i}
PropriétéPuissances de i
i2=−1i3=−ii4=1\mathrm{i}^2=-1 \qquad \mathrm{i}^3=-\mathrm{i} \qquad \mathrm{i}^4=1

Les puissances se répètent ensuite avec une période de 44 : pour calculer in\mathrm{i}^n, il suffit de considérer le reste de la division de nn par 44.

PropriétéIdentités remarquables

Les identités habituelles restent valables dans C\mathbb{C}, et une nouvelle devient utile :

a2+b2=(a+ib)(a−ib)a^2+b^2=(a+\mathrm{i}b)(a-\mathrm{i}b)

Une somme de deux carrés, impossible à factoriser dans R\mathbb{R}, se factorise donc dans C\mathbb{C}.

III. Conjugaison et inverse

DéfinitionConjugué

Le conjugué du nombre complexe z=a+ibz=a+\mathrm{i}b est le nombre

z‾=a−ib\overline{z}=a-\mathrm{i}b
PropriétéPropriétés du conjugué

Pour tous nombres complexes zz et z′z' :

z+z′‾=z‾+z′‾zz′‾=z‾  z′‾z‾‾=z\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'} \qquad \overline{zz'}=\overline{z}\;\overline{z'} \qquad \overline{\overline{z}}=z

De plus, z+z‾=2 Re(z)z+\overline{z}=2\,\text{Re}(z) et z−z‾=2i Im(z)z-\overline{z}=2\mathrm{i}\,\text{Im}(z).

Un nombre complexe est réel si et seulement s'il est égal à son conjugué ; il est imaginaire pur si et seulement s'il est l'opposé de son conjugué.

PropriétéProduit d'un complexe et de son conjugué

Pour z=a+ibz=a+\mathrm{i}b :

z z‾=a2+b2z\,\overline{z}=a^2+b^2

Ce produit est un réel positif, nul seulement si zz l'est. C'est cette propriété qui rend le calcul des inverses possible.

MéthodeÉcrire un quotient sous forme algébrique

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : celui-ci devient réel, et il ne reste plus qu'à séparer les parties réelle et imaginaire.

Exemple
3+i1−2i=(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=3+6i+i−21+4=1+7i5=15+75i\frac{3+\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}=\frac{(3+\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})}{(1-2\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})}=\frac{3+6\mathrm{i}+\mathrm{i}-2}{1+4}=\frac{1+7\mathrm{i}}{5}=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}\mathrm{i}

IV. Formule du binôme

ThéorèmeFormule du binôme dans C\mathbb{C}

Pour tous nombres complexes zz et z′z' et tout entier naturel nn :

(z+z′)n=∑k=0n(nk)zk z′ n−k(z+z')^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z^k\,z'^{\,n-k}

Les coefficients binomiaux sont les mêmes que dans le cas réel, et se lisent dans le triangle de Pascal.

Exemple

Calculons (1+i)4(1+\mathrm{i})^4. La ligne n=4n=4 du triangle de Pascal donne les coefficients 11, 44, 66, 44, 11 :

(1+i)4=1+4i+6i2+4i3+i4=1+4i−6−4i+1=−4(1+\mathrm{i})^4 = 1+4\mathrm{i}+6\mathrm{i}^2+4\mathrm{i}^3+\mathrm{i}^4 = 1+4\mathrm{i}-6-4\mathrm{i}+1=-4

Le résultat est réel, ce qui n'a rien d'exceptionnel : les puissances d'un complexe repassent régulièrement par l'axe réel.

Remarque

Pour une puissance élevée, la forme exponentielle du chapitre sur la trigonométrie est bien plus rapide que le binôme. Chaque écriture a son domaine d'efficacité, et savoir changer de point de vue est l'un des objectifs de l'option.

Passer à la pratique

9 exercices corrigés sur ce chapitre.