Nombres complexes — point de vue algébrique

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Mettre chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique $a+ib$, avec $a$ et $b$ réels, puis préciser sa partie réelle et sa partie imaginaire.

   $$z_1 = (3-2i) + (4+5i), \qquad z_2 = (2+i)(3-4i), \qquad z_3 = (1+i)^2, \qquad z_4 = i^{2026}.$$
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   Développer en utilisant $i^2=-1$. Pour $z_4$, remarquer que $i^4=1$ et effectuer une division euclidienne de $2026$ par $4$.

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   $z_1$ : en regroupant les parties réelles et imaginaires,

   $$z_1 = (3+4) + (-2+5)i = 7 + 3i.$$

   Donc $\operatorname{Re}(z_1)=7$ et $\operatorname{Im}(z_1)=3$.

   \medskip $z_2$ : on développe

   $$z_2 = (2+i)(3-4i) = 6 - 8i + 3i - 4i^2 = 6 - 5i + 4 = 10 - 5i.$$

   Donc $\operatorname{Re}(z_2)=10$ et $\operatorname{Im}(z_2)=-5$.

   \medskip $z_3$ : avec l'identité remarquable,

   $$z_3 = (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i.$$

   Donc $\operatorname{Re}(z_3)=0$ et $\operatorname{Im}(z_3)=2$.

   \medskip $z_4$ : les puissances de $i$ sont périodiques de période $4$ : $i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$. Comme $2026 = 4\times 506 + 2$, on a

   $$z_4 = i^{2026} = (i^4)^{506}\cdot i^2 = 1^{506}\cdot(-1) = -1.$$

   Donc $\operatorname{Re}(z_4)=-1$ et $\operatorname{Im}(z_4)=0$.

2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Écrire sous forme algébrique les nombres complexes

   $$Z_1 = \frac{1}{2+3i}, \qquad Z_2 = \frac{3-i}{1+i}, \qquad Z_3 = \frac{2+5i}{2-5i}.$$
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   Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. Rappel : $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$.

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   $Z_1$ : on multiplie par le conjugué $2-3i$ du dénominateur :

   $$Z_1 = \frac{1}{2+3i} = \frac{2-3i}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{2-3i}{2^2+3^2} = \frac{2-3i}{13} = \frac{2}{13} - \frac{3}{13}i.$$

   \medskip $Z_2$ : on multiplie par $1-i$ :

   $$Z_2 = \frac{3-i}{1+i} = \frac{(3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{3 - 3i - i + i^2}{1^2+1^2} = \frac{3 - 4i - 1}{2} = \frac{2-4i}{2} = 1 - 2i.$$

   \medskip $Z_3$ : on multiplie par $2+5i$ :

   $$Z_3 = \frac{2+5i}{2-5i} = \frac{(2+5i)^2}{(2-5i)(2+5i)} = \frac{4 + 20i + 25i^2}{2^2+5^2} = \frac{4 + 20i - 25}{29} = \frac{-21+20i}{29} = -\frac{21}{29} + \frac{20}{29}i.$$
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Soit $z = 4 - 7i$.

   1. Calculer $z + \overline{z}$ et $z - \overline{z}$. Que retrouve-t-on ?
   2. Calculer $z\,\overline{z}$.
   3. En déduire, sans nouveau calcul de conjugué, la forme algébrique de $\dfrac{1}{z}$.
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   Utiliser les relations $z+\overline{z}=2\operatorname{Re}(z)$, $z-\overline{z}=2i\operatorname{Im}(z)$ et $z\,\overline{z} = a^2+b^2$. Pour l'inverse, écrire $\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{z\,\overline{z}}$.

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   Ici $\overline{z} = 4 + 7i$.

   1.

   $$z + \overline{z} = (4-7i)+(4+7i) = 8 = 2\times 4 = 2\operatorname{Re}(z),$$ $$z - \overline{z} = (4-7i)-(4+7i) = -14i = 2i\times(-7) = 2i\operatorname{Im}(z).$$

   On retrouve les formules générales $z+\overline{z}=2\operatorname{Re}(z)$ et $z-\overline{z}=2i\operatorname{Im}(z)$.

   2.

   $$z\,\overline{z} = (4-7i)(4+7i) = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65.$$

   3. On a $\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{z\,\overline{z}} = \dfrac{4+7i}{65} = \dfrac{4}{65} + \dfrac{7}{65}i.$

4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations linéaires suivantes.

   $$\text{(a)}\quad (2+i)\,z = 5-5i, \qquad\qquad \text{(b)}\quad (1-i)\,z + 3 = 2i.$$
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   Une équation $az=b$ avec $a\neq 0$ admet l'unique solution $z=\dfrac{b}{a}$. Isoler $z$ puis multiplier par le conjugué du dénominateur.

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   (a) Comme $2+i \neq 0$,

   $$z = \frac{5-5i}{2+i} = \frac{(5-5i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{10 - 5i - 10i + 5i^2}{2^2+1^2} = \frac{10 - 15i - 5}{5} = \frac{5 - 15i}{5} = 1 - 3i.$$

   Vérification : $(2+i)(1-3i) = 2 - 6i + i - 3i^2 = 2 - 5i + 3 = 5 - 5i$. \checkmark

   \medskip (b) On isole $z$ : $(1-i)z = 2i - 3$, d'où, comme $1-i\neq 0$,

   $$z = \frac{2i-3}{1-i} = \frac{(2i-3)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i + 2i^2 - 3 - 3i}{1^2+1^2} = \frac{2i - 2 - 3 - 3i}{2} = \frac{-5 - i}{2} = -\frac{5}{2} - \frac{1}{2}i.$$
5. 5

   Puissances d'un quotient complexe

   Moyen

   On considère le nombre complexe $z = \dfrac{1+i}{1-i}$.

   1. Écrire $z$ sous forme algébrique.
   2. En déduire la valeur de $z^{2027}$.
   3. Déterminer tous les entiers naturels $n$ pour lesquels $z^{n}$ est un nombre réel.
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   Après simplification on trouve $z=i$. Utiliser ensuite la périodicité des puissances de $i$ et discuter selon le reste de $n$ modulo $4$.

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6. 6

   Équation avec conjugué de $z$

   Moyen

   Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z = x + iy$ (avec $x,y$ réels) vérifiant

   $$2z + \overline{z} = 6 - i.$$
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   Poser $z = x+iy$, écrire $\overline{z}=x-iy$, développer, puis identifier séparément parties réelle et imaginaire.

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7. 7

   Réels, imaginaires purs et lieu

   Moyen

   Soit $z$ un nombre complexe. On pose $z = x + iy$ avec $x,y$ réels.

   1. Montrer que $z$ est un nombre réel si et seulement si $z = \overline{z}$.
   2. Montrer que $z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z = -\overline{z}$.
   3. En déduire l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que le nombre $Z = \dfrac{z-1}{z+i}$ soit un imaginaire pur (on supposera $z \neq -i$).
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   Pour la question 3, écrire la condition $Z = -\overline{Z}$, ou bien remplacer $z$ par $x+iy$ et calculer la partie réelle de $Z$ : elle doit être nulle. Cela conduit à l'équation d'un cercle.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   Le but est de calculer une somme de coefficients binomiaux à l'aide des nombres complexes.

   1. À l'aide de la formule du binôme, développer $(1+i)^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ et exprimer sa partie réelle et sa partie imaginaire à l'aide de coefficients binomiaux.
   2. Calculer directement $(1+i)^2$, puis en déduire une forme algébrique simple de $(1+i)^n$ lorsque $n$ est pair, $n = 2m$.
   3. En déduire, pour tout entier $m\geq 0$, la valeur de la somme alternée $S = \binom{2m}{0} - \binom{2m}{2} + \binom{2m}{4} - \cdots = \sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{2m}{2k}.$ Application : calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{3}(-1)^k\binom{6}{2k}$.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   On admet et l'on va redémontrer une propriété de la conjugaison. Soit $n$ un entier naturel non nul.

   1. Démontrer par récurrence sur $n$ que pour tout $z\in\mathbb{C}$, $\overline{z^{\,n}} = \big(\overline{z}\big)^{n}$. On pourra utiliser (et rappeler brièvement pourquoi) la propriété $\overline{z\,z'} = \overline{z}\cdot\overline{z'}$.
   2. Soit $P(z) = a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0$ un polynôme à coefficients réels $a_0,\dots,a_n$. Montrer que pour tout $z\in\mathbb{C}$, $\overline{P(z)} = P(\overline{z})$.
   3. En déduire que si un nombre complexe $z_0$ est racine de $P$ (c'est-à-dire $P(z_0)=0$), alors son conjugué $\overline{z_0}$ est aussi racine de $P$.
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