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Cours de Maths expertes

Nombres complexes et trigonométrie

Formules d'addition et de duplication, notation exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, et linéarisation.

Avant de commencer

  • •Écrire un complexe sous forme trigonométrique.
  • •Connaître le produit scalaire et les valeurs remarquables.

À la fin du chapitre, tu sais

  • •Utiliser les formules d'addition et de duplication.
  • •Écrire un complexe sous forme exponentielle.
  • •Calculer une puissance avec la formule de Moivre.
  • •Linéariser une expression avec les formules d'Euler.
Sommaire

I. Formules d'addition et de duplication

ThéorèmeFormules d'addition

Pour tous réels aa et bb :

cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b
Démonstration : Formule du cosinus d'une différence

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct d'origine OO. Considérons les points AA et BB du cercle trigonométrique associés aux réels aa et bb : leurs coordonnées sont (cos⁡a ;sin⁡a)(\cos a\,;\sin a) et (cos⁡b ;sin⁡b)(\cos b\,;\sin b).

Calculons le produit scalaire OA⃗⋅OB⃗\vec{OA} \cdot \vec{OB} de deux façons.

En coordonnées :

OA⃗⋅OB⃗=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\vec{OA} \cdot \vec{OB}=\cos a\cos b+\sin a\sin b

Avec les normes et l'angle : les deux vecteurs ont pour norme 11, et l'angle qu'ils forment mesure a−ba-b, donc

OA⃗⋅OB⃗=1×1×cos⁡(a−b)\vec{OA} \cdot \vec{OB}=1 \times 1 \times \cos(a-b)

En égalant les deux expressions, on obtient la formule annoncée. Les trois autres s'en déduisent en remplaçant bb par −b-b et en utilisant les angles associés.

PropriétéFormules de duplication

En prenant b=ab=a dans les formules d'addition :

cos⁡(2a)=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a sin⁡(2a)=2sin⁡acos⁡a\sin(2a)=2\sin a\cos a
Exemple

Calculons cos⁡7π12\cos\dfrac{7\pi}{12} en écrivant 7π12=π3+π4\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4} :

cos⁡7π12=cos⁡π3cos⁡π4−sin⁡π3sin⁡π4=12×22−32×22=2−64\cos\frac{7\pi}{12}=\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} =\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}

II. Notation exponentielle

Multiplier deux complexes de module 11 revient à additionner leurs arguments. Cette propriété est exactement celle de l'exponentielle, qui transforme les sommes en produits, d'où la notation adoptée.

DéfinitionExponentielle imaginaire

Pour tout réel θ\theta, on note

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ\text{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta

Ce nombre a pour module 11 et pour argument θ\theta. Tout nombre complexe non nul de module rr et d'argument θ\theta s'écrit alors sous forme exponentielle :

z=r eiθz = r\,\text{e}^{\mathrm{i}\theta}
PropriétéRelation fonctionnelle

Pour tous réels θ\theta et θ′\theta', et tout entier relatif nn :

eiθ eiθ′=ei(θ+θ′)1eiθ=e−iθ(eiθ)n=einθ\text{e}^{\mathrm{i}\theta}\,\text{e}^{\mathrm{i}\theta'}=\text{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')} \qquad \frac{1}{\text{e}^{\mathrm{i}\theta}}=\text{e}^{-\mathrm{i}\theta} \qquad \left(\text{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^n=\text{e}^{\mathrm{i}n\theta}

Ces règles rendent les calculs de produits, de quotients et de puissances immédiats, là où la forme algébrique demanderait de longs développements.

Exemple

Reprenons z=1+i3z=1+\mathrm{i}\sqrt{3}, de module 22 et d'argument π3\dfrac{\pi}{3}, soit z=2 eiπ/3z = 2\,\text{e}^{\mathrm{i}\pi/3}. Alors

z6=26 ei 6π/3=64 e2iπ=64z^6 = 2^6\,\text{e}^{\mathrm{i}\,6\pi/3}=64\,\text{e}^{2\mathrm{i}\pi}=64

Le même calcul avec la formule du binôme demanderait sept termes.

Remarque

Pour θ=π\theta = \pi, la définition donne eiπ=−1\text{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1, égalité souvent citée pour la façon dont elle relie l'exponentielle, le nombre π\pi et l'unité imaginaire.

III. Formules d'Euler et de Moivre

ThéorèmeFormules d'Euler

Pour tout réel θ\theta :

cos⁡θ=eiθ+e−iθ2sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\cos\theta = \frac{\text{e}^{\mathrm{i}\theta}+\text{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2} \qquad \sin\theta = \frac{\text{e}^{\mathrm{i}\theta}-\text{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}

Elles s'obtiennent en additionnant ou en soustrayant les écritures de eiθ\text{e}^{\mathrm{i}\theta} et de e−iθ\text{e}^{-\mathrm{i}\theta}.

ThéorèmeFormule de Moivre

Pour tout réel θ\theta et tout entier naturel nn :

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)

C'est la traduction, en forme trigonométrique, de l'égalité (eiθ)n=einθ\left(\text{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^n=\text{e}^{\mathrm{i}n\theta}.

MéthodeDeux usages complémentaires

La formule de Moivre exprime cos⁡(nθ)\cos(n\theta) et sin⁡(nθ)\sin(n\theta) en fonction de cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta : on développe le membre de gauche avec le binôme, puis on identifie parties réelle et imaginaire.

Les formules d'Euler font le chemin inverse. Elles transforment une puissance de cosinus ou de sinus en une somme de cosinus d'angles multiples, opération appelée linéarisation, indispensable pour intégrer ces expressions.

ExempleExprimer cos⁡(3θ)\cos(3\theta)

Avec la formule de Moivre pour n=3n=3 :

(cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡3θ+3icos⁡2θsin⁡θ−3cos⁡θsin⁡2θ−isin⁡3θ(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^3=\cos^3\theta+3\mathrm{i}\cos^2\theta\sin\theta-3\cos\theta\sin^2\theta-\mathrm{i}\sin^3\theta

En identifiant les parties réelles, puis en remplaçant sin⁡2θ\sin^2\theta par 1−cos⁡2θ1-\cos^2\theta :

cos⁡(3θ)=cos⁡3θ−3cos⁡θ (1−cos⁡2θ)=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos(3\theta)=\cos^3\theta-3\cos\theta\,(1-\cos^2\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta
ExempleLinéariser cos⁡2θ\cos^2\theta

Avec la formule d'Euler :

cos⁡2θ=(eiθ+e−iθ2)2=e2iθ+2+e−2iθ4=1+cos⁡(2θ)2\cos^2\theta = \left(\frac{\text{e}^{\mathrm{i}\theta}+\text{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2}\right)^2=\frac{\text{e}^{2\mathrm{i}\theta}+2+\text{e}^{-2\mathrm{i}\theta}}{4}=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}

Cette écriture s'intègre immédiatement, contrairement à la forme de départ.

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