Nombres complexes et trigonométrie

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Passer d'une forme à l'autre.

   1. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes $z_1 = -1 + i\sqrt{3}, \qquad z_2 = 3 - 3i, \qquad z_3 = -\sqrt{2}\,i.$
   2. Écrire sous forme algébrique le nombre $z_4 = 4\,e^{-i\pi/6}$.
   3. En écrivant $1+i$ et $\sqrt{3}+i$ sous forme exponentielle, calculer le produit $(1+i)(\sqrt{3}+i)$ de deux façons et en déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{5\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{12}$.
   Voir un indice

   Le module est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ ; l'argument $\theta$ vérifie $\cos\theta = a/|z|$ et $\sin\theta = b/|z|$. Pour la question 3, comparer partie réelle et partie imaginaire du produit sous ses deux formes ; l'argument du produit est la somme des arguments.

   Voir la correction

   1. $|z_1| = \sqrt{1+3} = 2$, et $\cos\theta = -\tfrac12$, $\sin\theta = \tfrac{\sqrt3}{2}$ donnent $\theta = \tfrac{2\pi}{3}$, d'où

   $$z_1 = 2\,e^{i\,2\pi/3}.$$

   $|z_2| = \sqrt{9+9} = 3\sqrt2$, et $\cos\theta = \tfrac{1}{\sqrt2}$, $\sin\theta = -\tfrac{1}{\sqrt2}$ donnent $\theta = -\tfrac{\pi}{4}$, d'où $z_2 = 3\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$. Enfin $z_3 = -\sqrt2\,i = \sqrt2\,e^{-i\pi/2}$.

   \smallskip 2. $z_4 = 4\big(\cos\tfrac{\pi}{6} - i\sin\tfrac{\pi}{6}\big) = 4\big(\tfrac{\sqrt3}{2} - \tfrac12 i\big) = 2\sqrt3 - 2i.$

   \smallskip 3. On a $1+i = \sqrt2\,e^{i\pi/4}$ et $\sqrt3+i = 2\,e^{i\pi/6}$, donc

   $$(1+i)(\sqrt3+i) = 2\sqrt2\,e^{i(\pi/4+\pi/6)} = 2\sqrt2\,e^{i\,5\pi/12}.$$

   Par ailleurs, en développant, $(1+i)(\sqrt3+i) = \sqrt3 + i + i\sqrt3 + i^2 = (\sqrt3-1) + i(\sqrt3+1)$. En identifiant,

   $$\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}, \qquad \sin\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Valeurs exactes par les formules d'addition.

   1. En remarquant que $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$, calculer les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}$.
   2. Retrouver $\cos\dfrac{\pi}{6}$ à partir de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ grâce à une formule de duplication.
   Voir un indice

   $\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$, $\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$. Pour la question 2, $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$.

   Voir la correction

   1.

   $$\cos\frac{\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}.$$ $$\sin\frac{\pi}{12} = \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

   2. $\cos^2\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{(\sqrt2+\sqrt6)^2}{16} = \dfrac{2 + 2\sqrt{12} + 6}{16} = \dfrac{8 + 4\sqrt3}{16} = \dfrac{2+\sqrt3}{4}$, donc

   $$\cos\frac{\pi}{6} = 2\cos^2\frac{\pi}{12} - 1 = \frac{2+\sqrt3}{2} - 1 = \frac{\sqrt3}{2},$$

   ce qui est bien la valeur attendue.

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Linéarisation par les formules d'Euler. Linéariser (c'est-à-dire écrire comme combinaison linéaire de $\cos(k\theta)$ et $\sin(k\theta)$) :

   $$\cos^2\theta, \qquad \sin^2\theta, \qquad \cos^3\theta.$$
   Voir un indice

   Utiliser $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$, développer par le binôme de Newton, puis regrouper les termes conjugués.

   Voir la correction

   $$\cos^2\theta = \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2i\theta} + 2 + e^{-2i\theta}}{4} = \frac{2\cos 2\theta + 2}{4} = \frac{1+\cos 2\theta}{2}.$$

   De même

   $$\sin^2\theta = \left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^2 = \frac{e^{2i\theta} - 2 + e^{-2i\theta}}{-4} = \frac{2\cos 2\theta - 2}{-4} = \frac{1-\cos 2\theta}{2}.$$

   Enfin

   $$\cos^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^3 = \frac{e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}}{8} = \frac{2\cos 3\theta + 6\cos\theta}{8} = \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}.$$
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Formule de Moivre.

   1. À l'aide de la formule de Moivre, exprimer $\cos 3\theta$ et $\sin 3\theta$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$, puis montrer que $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
   2. Calculer $(1+i)^{10}$ en passant par la forme exponentielle.
   Voir un indice

   Formule de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$. Développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$ par le binôme et identifier parties réelle et imaginaire ; utiliser $\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$.

   Voir la correction

   1. D'après Moivre, $\cos 3\theta + i\sin 3\theta = (\cos\theta + i\sin\theta)^3$. Le binôme donne

   $$(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta.$$

   En identifiant :

   $$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta, \qquad \sin 3\theta = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta.$$

   Avec $\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$ :

   $$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1-\cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta.$$

   2. $1+i = \sqrt2\,e^{i\pi/4}$, donc

   $$(1+i)^{10} = (\sqrt2)^{10}\,e^{i\,10\pi/4} = 2^5\,e^{i\,5\pi/2} = 32\,e^{i\pi/2} = 32i.$$
5. 5

   Linéarisation de $\cos^4\theta$ et intégrale

   Moyen

   Linéarisation et calcul d'intégrale.

   1. Linéariser $\cos^4\theta$.
   2. En déduire la valeur de l'intégrale $I = \int_0^{\pi/2} \cos^4\theta \; d\theta.$
   Voir un indice

   Développer $\left(\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^4$ avec le binôme, puis intégrer terme à terme la forme linéarisée.

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

6. 6

   Noyau de Dirichlet

   Moyen

   Somme trigonométrique (noyau de Dirichlet). Soit $\theta \in\; ]0, 2\pi[$ et $n\in\mathbb{N}$. On pose $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \cos(k\theta)$.

   1. Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} e^{ik\theta}$ (somme géométrique).
   2. En déduire que $S_n = \frac{\sin\!\big(\tfrac{(n+1)\theta}{2}\big)}{\sin\!\big(\tfrac{\theta}{2}\big)}\,\cos\!\Big(\frac{n\theta}{2}\Big).$
   Voir un indice

   $S_n = \mathrm{Re}\left(\sum_{k=0}^n e^{ik\theta}\right)$. Comme $\theta\in\;]0,2\pi[$, on a $e^{i\theta}\neq 1$ et la raison est $e^{i\theta}$. Pour simplifier, factoriser numérateur et dénominateur par la « demi-exponentielle » (technique de l'angle moitié) : $e^{ix}-1 = e^{ix/2}\,(2i\sin(x/2))$.

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

7. 7

   Polynômes de Tchebychev

   Moyen

   Polynômes de Tchebychev. Le but est d'exprimer $\cos 5\theta$ comme un polynôme en $\cos\theta$.

   1. À l'aide de la formule de Moivre, écrire $\cos 5\theta$ comme partie réelle de $(\cos\theta + i\sin\theta)^5$.
   2. En déduire que $\cos 5\theta = 16\cos^5\theta - 20\cos^3\theta + 5\cos\theta$.
   Voir un indice

   Développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^5$ par le binôme de Newton et ne conserver que la partie réelle (termes en $i^0, i^2, i^4$). Remplacer ensuite $\sin^2\theta$ par $1-\cos^2\theta$.

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   Intégrales de Wallis. Pour $n\in\mathbb{N}$, on pose $\displaystyle W_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n\theta \; d\theta$.

   1. Calculer $W_0$ et $W_1$.
   2. À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation de récurrence $W_n = \frac{n-1}{n}\,W_{n-2} \qquad (n\geq 2).$
   3. En déduire les valeurs de $W_4$, $W_5$ et $W_6$.
   Voir un indice

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   Une somme binomiale trigonométrique. Soit $\theta\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$. On considère

   $$T_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\cos(k\theta).$$

   1. Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{ik\theta}$ à l'aide de la formule du binôme.
   2. En factorisant $1 + e^{i\theta}$ par l'angle moitié, en déduire que $T_n = 2^n\cos^n\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big)\cos\!\Big(\frac{n\theta}{2}\Big).$
   3. Application : calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cos\!\Big(\frac{k\pi}{3}\Big)$.
   Voir un indice

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

   Voir la correction

   Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.

   Ta classeTroisièmeSecondePremièreTerminalePrépa scientifique 1ère annéePrépa scientifique 2ème annéePrépa ECG 1ère annéeAutre

   Débloquer

   Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité