Ascension Maths

I. Équation du second degré à coefficients réels

Dans $\mathbb{R}$ , une équation du second degré de discriminant négatif n'a pas de solution. Dans $\mathbb{C}$ , elle en a toujours deux, et la formule reste presque la même.

ThéorèmeRésolution dans

\mathbb{C}

On considère l'équation $az^2+bz+c=0$ , où $a$ , $b$ , $c$ sont réels avec $a \neq 0$ , et $\Delta = b^2-4ac$ .

Si $\Delta>0$ , deux solutions réelles $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Si $\Delta = 0$ , une solution réelle double $-\dfrac{b}{2a}$ .

Si $\Delta<0$ , deux solutions complexes conjuguées

z_1 = \frac{-b-\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a} \qquad z_2 = \frac{-b+\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}

Attention

Lorsque le discriminant est négatif, c'est $\sqrt{-\Delta}$ qui intervient, et non $\sqrt{\Delta}$ : le nombre sous la racine doit rester positif, l'unité imaginaire portant le signe.

Exemple

Résolvons $z^2-2z+5=0$ . Le discriminant vaut $4-20=-16$ , donc $\sqrt{-\Delta}=4$ et

z_1 = \frac{2-4\mathrm{i}}{2}=1-2\mathrm{i} \qquad z_2 = 1+2\mathrm{i}

PropriétéRacines conjuguées

Si un polynôme est à coefficients réels et admet une racine complexe $z_0$ , alors son conjugué $\overline{z_0}$ est également racine.

Les racines non réelles vont donc toujours par paires, ce qui explique qu'un polynôme de degré impair à coefficients réels ait toujours au moins une racine réelle.

II. Factorisations

PropriétéFactorisation de

z^n-a^n

Pour tous complexes $z$ et $a$ et tout entier $n \geqslant 1$ :

z^n-a^n=(z-a)\left(z^{n-1}+az^{n-2}+\cdots+a^{n-2}z+a^{n-1}\right)

Démonstration : Factorisation de

z^n-a^n

Développons le membre de droite en distribuant le facteur $(z-a)$ :

z \times \left(z^{n-1}+az^{n-2}+\cdots+a^{n-1}\right)=z^n+az^{n-1}+\cdots+a^{n-1}z

-a \times \left(z^{n-1}+az^{n-2}+\cdots+a^{n-1}\right)=-az^{n-1}-a^2z^{n-2}-\cdots-a^n

En additionnant ces deux lignes, tous les termes intermédiaires s'annulent deux à deux, et il ne reste que $z^n-a^n$ .

Exemple

Pour $n=3$ et $a=1$ :

z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)

Les solutions de $z^3=1$ sont donc $1$ , ainsi que les racines de $z^2+z+1$ , dont le discriminant vaut $-3$ :

z = \frac{-1 \pm \mathrm{i}\sqrt{3}}{2}

ThéorèmeFactorisation par une racine

Si $P$ est un polynôme et si $P(a)=0$ , alors $P$ se factorise par $z-a$ : il existe un polynôme $Q$ , de degré inférieur d'une unité, tel que

P(z)=(z-a)\,Q(z)

Démonstration : Factorisation par une racine

Écrivons $P(z)=c_nz^n+\cdots+c_1z+c_0$ . Comme $P(a)=0$ , on peut soustraire cette quantité nulle :

P(z)=P(z)-P(a)=\sum_{k=1}^{n} c_k\left(z^k-a^k\right)

le terme constant $c_0$ disparaissant dans la différence.

Or chaque $z^k-a^k$ se factorise par $z-a$ , d'après la propriété précédente. En mettant $z-a$ en facteur dans toute la somme, on obtient l'écriture annoncée.

ThéorèmeNombre de racines

Un polynôme de degré $n$ non nul admet au plus $n$ racines dans $\mathbb{C}$ .

Ce résultat se démontre par récurrence : chaque racine permet de factoriser et d'abaisser le degré d'une unité.

III. Résoudre une équation de degré supérieur

MéthodeLa démarche type

Les exercices suivent presque toujours le même scénario.

L'énoncé fournit une racine évidente, ou demande de la vérifier par un calcul direct.
On factorise par $z-a$ , en identifiant les coefficients du quotient.
On résout l'équation du second degré restante.
On conclut en donnant l'ensemble complet des solutions.

ExempleUne équation de degré 3

Résolvons $z^3-3z^2+4z-12=0$ .

La valeur $z=3$ convient, puisque $27-27+12-12=0$ . On factorise donc par $z-3$ :

z^3-3z^2+4z-12=(z-3)(z^2+4)

L'équation $z^2+4=0$ donne $z^2=-4$ , donc $z=2\mathrm{i}$ ou $z=-2\mathrm{i}$ .

L'ensemble des solutions est $\{3\,;2\mathrm{i}\,;-2\mathrm{i}\}$ , avec bien une racine réelle et deux racines conjuguées.

MéthodeIdentifier les coefficients

Pour factoriser $P(z)$ par $z-a$ , on écrit $P(z)=(z-a)(\alpha z^2+\beta z+\gamma)$ , on développe, puis on identifie les coefficients de chaque puissance avec ceux de $P$ .

Le coefficient dominant et le terme constant se lisent immédiatement, ce qui donne $\alpha$ et $\gamma$ sans calcul ; il ne reste qu'une inconnue à déterminer.

Équations polynomiales

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Équation du second degré à coefficients réels

II. Factorisations

III. Résoudre une équation de degré supérieur