Équations polynomiales

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes, à coefficients réels.

   1. $z^2 - 2z + 5 = 0$
   2. $z^2 + z + 1 = 0$
   3. $2z^2 - 2z + 5 = 0$
   4. $z^2 + 9 = 0$

   Pour chaque équation dont le discriminant est strictement négatif, on donnera les deux solutions sous forme algébrique $x + \mathrm{i}y$.

   Voir un indice

   Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Lorsque $\Delta < 0$, écrire $\Delta = -(\sqrt{-\Delta})^2 = (\mathrm{i}\sqrt{-\Delta})^2$, puis appliquer $z = \dfrac{-b \pm \mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Les deux racines sont conjuguées.

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   1. $\Delta = 4 - 20 = -16 = (4\mathrm{i})^2$. D'où $z = \frac{2 \pm 4\mathrm{i}}{2} = 1 \pm 2\mathrm{i}.$ Solutions : $\{\,1+2\mathrm{i},\ 1-2\mathrm{i}\,\}$.
   2. $\Delta = 1 - 4 = -3 = (\mathrm{i}\sqrt{3})^2$. D'où $z = \frac{-1 \pm \mathrm{i}\sqrt{3}}{2}.$ On reconnaît $j = -\tfrac12 + \tfrac{\sqrt 3}{2}\mathrm{i}$ et son conjugué.
   3. $\Delta = 4 - 40 = -36 = (6\mathrm{i})^2$. D'où $z = \frac{2 \pm 6\mathrm{i}}{4} = \frac{1 \pm 3\mathrm{i}}{2}.$
   4. $z^2 = -9$, donc $z = \pm 3\mathrm{i}$.
2. 2

   Factorisation de $z^n - a^n$

   Facile
   1. Soit $a \in \mathbb{C}$ et $n \geq 1$ un entier. Démontrer, par exemple par télescopage, l'identité $z^n - a^n = (z - a)\sum_{k=0}^{n-1} z^{\,n-1-k}\,a^{\,k} = (z-a)\bigl(z^{n-1} + z^{n-2}a + \cdots + z\,a^{n-2} + a^{n-1}\bigr).$
   2. En déduire une factorisation de $z^3 - 1$, puis résoudre $z^3 = 1$ dans $\mathbb{C}$.
   3. Factoriser $z^5 - 32$ sous la forme d'un produit d'un polynôme de degré $1$ par un polynôme de degré $4$.
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   Pour la question 1, développer $(z-a)\sum_{k=0}^{n-1} z^{n-1-k}a^{k}$ et observer que la somme se télescope. Pour la question 3, appliquer la formule avec $a = 2$ (car $32 = 2^5$).

   Voir la correction

   1. Notons $S = \sum_{k=0}^{n-1} z^{\,n-1-k}a^{\,k}$. Alors $(z-a)\,S = \sum_{k=0}^{n-1} z^{\,n-k}a^{\,k} - \sum_{k=0}^{n-1} z^{\,n-1-k}a^{\,k+1}.$ Dans la seconde somme, le changement d'indice $j = k+1$ donne $\sum_{j=1}^{n} z^{\,n-j}a^{\,j}$. Les deux sommes coïncident pour tous les indices intermédiaires ($1 \leq k \leq n-1$) et il ne subsiste que le terme $k=0$ de la première, $z^n$, et le terme $j=n$ de la seconde, $a^n$. Ainsi $(z-a)S = z^n - a^n$.
   2. Avec $n=3$, $a=1$ : $z^3 - 1 = (z-1)(z^2 + z + 1)$. L'équation $z^3 = 1$ équivaut donc à $z = 1$ ou $z^2+z+1=0$, dont les racines sont $j = -\tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}$ et $\overline{j} = j^2$. Solutions : $\{1,\ j,\ j^2\}$.
   3. Avec $n=5$, $a=2$ : $z^5 - 32 = (z-2)\bigl(z^4 + 2z^3 + 4z^2 + 8z + 16\bigr).$
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   On considère le polynôme $P(z) = z^3 - 7z^2 + 17z - 15$.

   1. Vérifier que $3$ est une racine de $P$.
   2. En déduire une factorisation de $P(z)$ sous la forme $(z-3)\,Q(z)$ où $Q$ est un trinôme du second degré à préciser.
   3. Résoudre l'équation $P(z) = 0$ dans $\mathbb{C}$.
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   Après avoir vérifié $P(3)=0$, écrire $Q(z) = z^2 + bz + c$ et identifier les coefficients dans $(z-3)(z^2+bz+c)$, ou effectuer la division euclidienne de $P$ par $z-3$.

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   1. $P(3) = 27 - 63 + 51 - 15 = 0$, donc $3$ est racine.
   2. On cherche $Q(z) = z^2 + bz + c$ tel que $(z-3)(z^2 + bz + c) = z^3 + (b-3)z^2 + (c - 3b)z - 3c.$ Par identification : $b - 3 = -7$, soit $b = -4$ ; $-3c = -15$, soit $c = 5$ ; on vérifie $c - 3b = 5 + 12 = 17$. Ainsi $P(z) = (z-3)(z^2 - 4z + 5).$
   3. Pour $z^2 - 4z + 5 = 0$ : $\Delta = 16 - 20 = -4 = (2\mathrm{i})^2$, d'où $z = \dfrac{4 \pm 2\mathrm{i}}{2} = 2 \pm \mathrm{i}$. Les solutions de $P(z)=0$ sont donc $\{\,3,\ 2+\mathrm{i},\ 2-\mathrm{i}\,\}$.
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Soit $P(z) = z^3 - 2z^2 + z - 2$.

   1. Montrer que $2$ est une racine de $P$, puis factoriser $P(z)$ par $z - 2$.
   2. En déduire toutes les racines de $P$ dans $\mathbb{C}$.
   3. Un élève affirme avoir trouvé une quatrième racine complexe de $P$, distincte des précédentes. Sans calcul supplémentaire, expliquer pourquoi c'est impossible.
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   Pour la question 3, se souvenir qu'un polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines dans $\mathbb{C}$ (conséquence de la factorisation par $z-a$ à chaque racine).

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   1. $P(2) = 8 - 8 + 2 - 2 = 0$. Par identification dans $(z-2)(z^2 + bz + c) = z^3 + (b-2)z^2 + (c-2b)z - 2c$ : $b - 2 = -2 \Rightarrow b = 0$, $-2c = -2 \Rightarrow c = 1$, et $c - 2b = 1$ (cohérent). Donc $P(z) = (z - 2)(z^2 + 1).$
   2. $z^2 + 1 = 0 \iff z = \pm \mathrm{i}$. Les racines de $P$ sont $\{\,2,\ \mathrm{i},\ -\mathrm{i}\,\}$.
   3. $P$ est de degré $3$. Or un polynôme non nul de degré $3$ possède au plus $3$ racines : à chaque racine $a$ on peut factoriser par $(z-a)$, ce qui abaisse strictement le degré, et le procédé s'arrête au plus après $3$ étapes. Comme on a déjà exhibé $3$ racines distinctes, il ne peut en exister une quatrième.
5. 5

   Équation de degré 3 et triangle

   Moyen

   On considère $P(z) = z^3 - 3z^2 + 3z + 7$ et l'on note $A$, $B$, $C$ les points du plan complexe dont les affixes sont les racines de $P$.

   1. Montrer que $-1$ est racine de $P$, puis factoriser $P(z)$.
   2. Résoudre $P(z) = 0$ dans $\mathbb{C}$.
   3. Déterminer les affixes de $A$, $B$, $C$ (on prendra $z_A = -1$), puis calculer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
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   Après factorisation par $z+1$, résoudre le trinôme restant. Pour le triangle, se rappeler que la distance entre deux points d'affixes $z$ et $z'$ vaut $|z - z'|$ ; les deux racines non réelles sont conjuguées, donc $B$ et $C$ sont symétriques par rapport à l'axe réel.

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6. 6

   Factorisation d'un polynôme de degré 4

   Moyen

   Soit $P(z) = z^4 - 2z^3 + 3z^2 - 2z + 2$, polynôme à coefficients réels.

   1. Vérifier que $1 + \mathrm{i}$ est une racine de $P$.
   2. Justifier, sans nouveau calcul, que $1 - \mathrm{i}$ est aussi une racine, puis montrer que $z^2 - 2z + 2$ divise $P(z)$.
   3. Effectuer la factorisation de $P(z)$ en produit de deux trinômes du second degré à coefficients réels, et en déduire l'ensemble des racines de $P$.
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   Un polynôme à coefficients réels qui admet une racine non réelle $\alpha$ admet aussi $\overline{\alpha}$ : ainsi $(z-\alpha)(z-\overline{\alpha}) = z^2 - 2\,\mathrm{Re}(\alpha)\,z + |\alpha|^2$ divise $P$. Ici $\mathrm{Re}(1+\mathrm{i}) = 1$ et $|1+\mathrm{i}|^2 = 2$.

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7. 7

   Deux résultats fondamentaux

   Moyen
   1. Soit $P$ un polynôme non nul à coefficients complexes et $a \in \mathbb{C}$. Démontrer que si $P(a) = 0$, alors il existe un polynôme $Q$ tel que $P(z) = (z-a)\,Q(z)$, avec $\deg Q = \deg P - 1$. On pourra écrire $P(z) = P(z) - P(a)$ et utiliser la factorisation de $z^k - a^k$.
   2. En déduire, par récurrence sur le degré, qu'un polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines dans $\mathbb{C}$.
   Voir un indice

   Question 1 : écrire $P(z) = \sum_{k=0}^n c_k z^k$, alors $P(z) - P(a) = \sum_{k=1}^n c_k (z^k - a^k)$ et chaque $z^k - a^k$ se factorise par $z-a$. Question 2 : si $P$ avait $n+1$ racines, factoriser par l'une d'elles et appliquer l'hypothèse de récurrence à $Q$.

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8. 8

   Racines carrées d'un nombre complexe et équation à coefficients complexes

   Difficile
   1. Déterminer les nombres complexes $\delta$ tels que $\delta^2 = -3 + 4\mathrm{i}$. On cherchera $\delta = x + \mathrm{i}y$ en résolvant le système donné par la partie réelle, la partie imaginaire et le module.
   2. En déduire les solutions de l'équation, à coefficients complexes, $z^2 - 3z + (3 - \mathrm{i}) = 0.$
   3. Vérifier les solutions à l'aide des relations entre coefficients et racines (somme et produit).
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9. 9

   Méthode de Cardan (l'exemple historique de Bombelli)

   Difficile

   On souhaite résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation

   $$z^3 - 15z - 4 = 0.$$

   On cherche une solution sous la forme $z = u + v$.

   1. Montrer que si $u + v$ est solution et si l'on impose $3uv = 15$ (c'est-à-dire $uv = 5$), alors $u^3 + v^3 = 4$.
   2. En déduire que $u^3$ et $v^3$ sont les racines de l'équation du second degré $t^2 - 4t + 125 = 0$. Résoudre cette équation dans $\mathbb{C}$.
   3. Vérifier que $(2 + \mathrm{i})^3 = 2 + 11\mathrm{i}$. En déduire une valeur réelle de $z = u + v$, puis résoudre complètement $z^3 - 15z - 4 = 0$.
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