Ascension Maths

I. Limite d'une suite

Une suite décrit une grandeur mesurée à intervalles réguliers. La question qui intéresse le modélisateur est celle du long terme : la grandeur se stabilise-t-elle, explose-t-elle, ou oscille-t-elle indéfiniment ?

DéfinitionLimite finie, limite infinie

La suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ lorsque ses termes se rapprochent de $\ell$ à mesure que $n$ augmente, et finissent par en être aussi proches que voulu. On écrit alors

\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell

La suite tend vers $+\infty$ lorsque ses termes finissent par dépasser tout nombre fixé à l'avance.

Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

PropriétéOpérations et comparaison

Les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient se calculent terme à terme, sauf devant les quatre formes indéterminées $\infty-\infty$ , $0 \times \infty$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ et $\dfrac{0}{0}$ .

Les inégalités passent à la limite : si $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang et si les deux suites convergent, alors leurs limites vérifient la même inégalité.

Théorème des gendarmes : si $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ et si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers le même réel $\ell$ , alors $(v_n)$ converge aussi vers $\ell$ .

II. Suites géométriques

PropriétéRappel et limite

Une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ a pour terme général $u_n = u_0q^n$ .

Pour une raison $q$ strictement positive :

si $q>1$ , la suite de terme général $q^n$ tend vers $+\infty$ ;

si $0<q<1$ , elle converge vers $0$ ;

si $q=1$ , elle est constante.

Exemple

Un capital placé à $3\,\%$ par an suit une suite géométrique de raison $1{,}03$ : il croît sans limite.

La masse d'un médicament éliminé de $20\,\%$ par heure suit une suite géométrique de raison $0{,}8$ : elle tend vers $0$ .

PropriétéSomme des termes

Pour $q \neq 1$ :

1+q+q^2+\cdots+q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}

Si de plus $0<q<1$ , le terme $q^{n+1}$ tend vers $0$ , donc cette somme converge :

\lim_{n \to +\infty}\left(1+q+\cdots+q^n\right)=\frac{1}{1-q}

Exemple

Un patient prend chaque jour une dose de $10$ milligrammes, dont il élimine $30\,\%$ en vingt-quatre heures. La quantité présente dans l'organisme après $n$ jours vaut

10+10 \times 0{,}7+\cdots+10 \times 0{,}7^{n-1}

Cette somme tend vers $\dfrac{10}{1-0{,}7} \approx 33{,}3$ milligrammes : le traitement se stabilise autour de cette valeur, appelée dose d'équilibre.

III. Suites arithmético-géométriques

DéfinitionDéfinition

Une suite $(u_n)$ est arithmético-géométrique lorsqu'elle vérifie une relation de la forme

u_{n+1}=a\,u_n+b

où $a$ et $b$ sont deux réels. Elle combine une évolution proportionnelle, décrite par $a$ , et un apport constant, décrit par $b$ .

MéthodeÉtudier une telle suite

La démarche est guidée par l'énoncé, mais elle suit toujours les mêmes étapes.

Chercher le point fixe $\ell$ , solution de $\ell = a\ell+b$ , c'est-à-dire $\ell = \dfrac{b}{1-a}$ lorsque $a \neq 1$ .
Poser $v_n = u_n-\ell$ et démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ .
En déduire l'expression de $v_n$ , puis celle de $u_n = v_n+\ell$ .
Conclure sur la limite : si $|a|<1$ , la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ .

ExempleUne population avec apport

Une population perd $10\,\%$ de ses effectifs chaque année, mais reçoit $300$ nouveaux individus. En notant $u_n$ l'effectif après $n$ années, avec $u_0 = 5\,000$ :

u_{n+1}=0{,}9\,u_n+300

Le point fixe vérifie $\ell = 0{,}9\ell+300$ , donc $\ell = 3\,000$ .

En posant $v_n = u_n-3\,000$ , on obtient $v_{n+1}=0{,}9\,v_n$ , donc $v_n = 2\,000 \times 0{,}9^n$ et

u_n = 2\,000 \times 0{,}9^n+3\,000

La raison $0{,}9$ étant comprise entre $0$ et $1$ , la population décroît et se stabilise autour de $3\,000$ individus.

Remarque

Le point fixe s'interprète directement : c'est l'effectif pour lequel les pertes compensent exactement les apports. Le calcul confirme l'intuition, et l'intuition permet de vérifier le calcul.

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9 exercices corrigés sur ce chapitre.

Suites numériques et modèles discrets

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Limite d'une suite

II. Suites géométriques

III. Suites arithmético-géométriques