Suites numériques, modèles discrets

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Déterminer, en justifiant, la limite de chacune des suites suivantes, définies pour tout entier naturel $n$ :

   $$u_n = (0{,}8)^n, \qquad v_n = 2\times(1{,}25)^n, \qquad w_n = 5\times\left(\tfrac{3}{4}\right)^n, \qquad t_n = 7 - 3\times(0{,}9)^n .$$
   Voir un indice

   Une suite géométrique de raison $q>0$ tend vers $0$ si $0\le q<1$ et vers $+\infty$ si $q>1$. Pour $t_n$, utilise ce résultat puis les opérations sur les limites.

   Voir la correction

   • $u_n=(0{,}8)^n$ : suite géométrique de raison $q=0{,}8$ avec $0\le 0{,}8<1$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$.
   • $v_n=2\times(1{,}25)^n$ : raison $q=1{,}25>1$, donc $(1{,}25)^n\to+\infty$, et comme $2>0$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = +\infty$.
   • $w_n=5\times\left(\tfrac{3}{4}\right)^n$ : raison $q=\tfrac34$ avec $0\le \tfrac34<1$, donc $\left(\tfrac34\right)^n\to 0$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} w_n = 0$.
   • $t_n=7-3\times(0{,}9)^n$ : la raison $0{,}9$ vérifie $0\le 0{,}9<1$ donc $(0{,}9)^n\to 0$. Par opérations sur les limites, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} t_n = 7-3\times 0 = 7$.
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Pour tout entier naturel $n$, on pose

   $$S_n = \sum_{k=0}^{n}\left(\tfrac{1}{2}\right)^k = 1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots+\left(\tfrac12\right)^n, \qquad T_n = \sum_{k=0}^{n}\left(\tfrac{2}{3}\right)^k .$$

   1. Exprimer $S_n$ et $T_n$ en fonction de $n$.
   2. En déduire les limites de $(S_n)$ et de $(T_n)$.
   Voir un indice

   Pour $q\neq 1$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{\,n+1}}{1-q}$. Si $0\le q<1$, alors $q^{\,n+1}\to 0$.

   Voir la correction

   1. Avec $q=\tfrac12$ :

   $$S_n = \frac{1-\left(\tfrac12\right)^{n+1}}{1-\tfrac12} = 2\left(1-\left(\tfrac12\right)^{n+1}\right) = 2 - \left(\tfrac12\right)^{n}.$$

   Avec $q=\tfrac23$ :

   $$T_n = \frac{1-\left(\tfrac23\right)^{n+1}}{1-\tfrac23} = 3\left(1-\left(\tfrac23\right)^{n+1}\right).$$

   2. Comme $0\le \tfrac12<1$, $\left(\tfrac12\right)^{n}\to 0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} S_n = 2$. De même $\left(\tfrac23\right)^{n+1}\to 0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} T_n = 3\times(1-0)=3$.

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   On considère les suites définies pour tout entier $n\ge 1$ par

   $$a_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}, \qquad b_n = \frac{3\times(0{,}5)^n + 4}{\,2 - (0{,}5)^n\,}.$$

   1. Montrer, à l'aide du théorème des gendarmes, que $(a_n)$ converge et préciser sa limite.
   2. Déterminer la limite de $(b_n)$ à l'aide des opérations sur les limites.
   Voir un indice

   Pour $a_n$ : encadre $(-1)^n$ par $-1$ et $1$. Pour $b_n$ : $(0{,}5)^n\to 0$, calcule alors la limite du numérateur et du dénominateur.

   Voir la correction

   1. Pour tout $n\ge 1$, $-1\le (-1)^n\le 1$, donc en divisant par $n>0$ :

   $$-\frac{1}{n}\le \frac{(-1)^n}{n}\le \frac{1}{n}, \qquad\text{d'où}\qquad 2-\frac{1}{n}\le a_n \le 2+\frac{1}{n}.$$

   Or $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(2-\tfrac1n\right)=2$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(2+\tfrac1n\right)=2$. D'après le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} a_n = 2$.

   2. La raison $0{,}5$ vérifie $0\le 0{,}5<1$, donc $(0{,}5)^n\to 0$. Ainsi le numérateur tend vers $3\times 0+4=4$ et le dénominateur vers $2-0=2\neq 0$. Par quotient,

   $$\lim_{n\to+\infty} b_n = \frac{4}{2}=2.$$
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=0{,}5\,x+2$. On considère la suite $(u_n)$ définie par

   $$u_0 = 0 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=f(u_n)\ \text{ pour tout } n\in\mathbb{N}.$$

   1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (valeurs exactes).
   2. Dans un repère, tracer la droite d'équation $y=f(x)$ et la droite d'équation $y=x$, puis représenter les termes $u_0,u_1,u_2,u_3$ sur l'axe des abscisses (« construction en escalier »). Conjecturer le comportement de $(u_n)$.
   3. Résoudre l'équation $f(x)=x$ et interpréter le résultat.
   Voir un indice

   Pour la construction en escalier : partant de $u_n$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe ($y=f(u_n)=u_{n+1}$) puis on se déplace horizontalement jusqu'à la droite $y=x$ pour reporter $u_{n+1}$ sur l'axe des abscisses. Le point d'intersection des deux droites est la limite conjecturée.

   Voir la correction

   1. $u_1=f(0)=0{,}5\times 0+2=2$ ; $u_2=f(2)=0{,}5\times 2+2=3$ ; $u_3=f(3)=0{,}5\times 3+2=3{,}5$.

   2. On trace la droite $y=0{,}5x+2$ (pente $0{,}5$, ordonnée à l'origine $2$) et la droite $y=x$. En partant de $u_0=0$ sur l'axe des abscisses, la construction en escalier donne successivement $u_1=2$, $u_2=3$, $u_3=3{,}5$… : les termes croissent et semblent se rapprocher de $4$. On conjecture que $(u_n)$ est croissante et converge vers $4$.

   3. $f(x)=x \iff 0{,}5x+2=x \iff 2=0{,}5x \iff x=4$. La droite $y=f(x)$ et la droite $y=x$ se coupent au point d'abscisse $4$, ce qui est cohérent avec la conjecture.

   Pour le démontrer rigoureusement, montrons par récurrence que pour tout $n$, $0\le u_n<4$. C'est vrai pour $n=0$. Si $u_n<4$, alors $u_{n+1}=0{,}5u_n+2<0{,}5\times4+2=4$ : la propriété est héréditaire, donc $u_n<4$ pour tout $n$.

   De plus, $u_{n+1}-u_n=2-0{,}5u_n>0$ car $u_n<4$ : la suite $(u_n)$ est donc strictement croissante. Étant croissante et majorée par $4$, elle converge, vers une limite $\ell\le 4$ (théorème de convergence monotone). Comme $f$ est continue, $\ell$ vérifie $\ell=f(\ell)$, soit $\ell=4$ d'après le calcul ci-dessus. Ainsi $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 4$.

5. 5

   (Économie -- remboursement d'un emprunt.)

   Moyen

   Une personne emprunte $10\,000$ euros. Chaque année, la banque majore la somme due de $2\,\%$ d'intérêts, puis l'emprunteur rembourse $1\,500$ euros. On note $D_0=10\,000$ le montant emprunté et $D_n$ la dette (en euros) après la $n$-ième année.

   1. Justifier que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $D_{n+1}=1{,}02\,D_n-1500$.
   2. Déterminer le réel $\ell$ tel que la suite constante égale à $\ell$ vérifie cette relation.
   3. On pose $v_n=D_n-\ell$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique ; en déduire $D_n$ en fonction de $n$.
   4. Au bout de combien d'années la dette est-elle entièrement remboursée ?
   Voir un indice

   Pour la 2., résoudre $\ell=1{,}02\,\ell-1500$. Pour la 4., chercher le plus petit $n$ tel que $D_n\le 0$, en résolvant $(1{,}02)^n\ge \tfrac{75000}{65000}$ à l'aide du logarithme.

   Voir la correction

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6. 6

   (Physique -- refroidissement de Newton, modèle discret.)

   Moyen

   Un objet à $90\,^{\circ}\mathrm{C}$ est placé dans une pièce à $20\,^{\circ}\mathrm{C}$. Toutes les minutes, l'écart de température entre l'objet et la pièce diminue de $20\,\%$. On note $\theta_n$ la température de l'objet (en $^{\circ}\mathrm{C}$) après $n$ minutes, avec $\theta_0=90$.

   1. Justifier que $\theta_{n+1}=0{,}8\,\theta_n+4$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
   2. On pose $w_n=\theta_n-20$. Montrer que $(w_n)$ est géométrique et exprimer $\theta_n$ en fonction de $n$.
   3. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\theta_n$ et interpréter physiquement.
   4. Au bout de combien de minutes la température de l'objet devient-elle inférieure ou égale à $30\,^{\circ}\mathrm{C}$ ?
   Voir un indice

   L'écart à la pièce est $\theta_n-20$ ; il est multiplié par $0{,}8$ à chaque minute, donc $\theta_{n+1}-20=0{,}8(\theta_n-20)$. Pour la 4., résoudre $(0{,}8)^n\le \tfrac17$.

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7. 7

   (Biologie -- croissance d'une population, modèle de Malthus.)

   Moyen

   Une population de bactéries compte initialement $2000$ individus. On observe que, chaque heure, la population augmente de $5\,\%$. On note $p_0=2000$ et $p_n$ le nombre de bactéries après $n$ heures.

   1. Exprimer $p_n$ en fonction de $n$.
   2. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} p_n$. Ce modèle est-il réaliste à long terme ?
   3. Au bout de combien d'heures la population a-t-elle au moins doublé ?
   4. Ce modèle suppose une ressource illimitée. Citer un phénomène biologique qui, en pratique, limiterait cette croissance.
   Voir un indice

   Une augmentation de $5\,\%$ correspond à une multiplication par $1{,}05$ : $(p_n)$ est géométrique. Pour la 3., résoudre $(1{,}05)^n\ge 2$.

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8. 8

   (Généralisation des suites arithmético-géométriques.)

   Difficile

   Soit $a$ et $b$ deux réels avec $a\neq 1$. On considère une suite $(u_n)$ vérifiant, pour tout $n\in\mathbb{N}$,

   $$u_{n+1}=a\,u_n+b.$$

   1. Montrer qu'il existe un unique réel $\ell$ tel que $\ell=a\ell+b$, et l'exprimer en fonction de $a$ et $b$.
   2. On pose $v_n=u_n-\ell$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
   3. En déduire l'expression générale : $u_n=\ell+(u_0-\ell)\,a^n$.
   4. Discuter le comportement de $(u_n)$ selon la valeur de $a$, pour $a>0$ : cas $0<a<1$, cas $a=1$ exclu, cas $a>1$. Que se passe-t-il si $u_0=\ell$ ?
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9. 9

   (Le flocon de Koch : périmètre infini, aire finie.)

   Difficile

   On part d'un triangle équilatéral de côté $1$ (étape $0$). À chaque étape, on remplace le tiers central de chaque segment par les deux autres côtés d'un petit triangle équilatéral pointant vers l'extérieur. On note $P_n$ le périmètre et $A_n$ l'aire de la figure obtenue à l'étape $n$. On rappelle que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ vaut $\dfrac{\sqrt3}{4}\,c^2$.

   1. À chaque étape, chaque côté est remplacé par $4$ segments de longueur $\tfrac13$ du côté précédent. En déduire $P_n$ en fonction de $n$, puis $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} P_n$.
   2. À l'étape $k\ge 1$, on ajoute $3\times 4^{\,k-1}$ petits triangles de côté $\left(\tfrac13\right)^k$. Montrer que l'aire ajoutée à l'étape $k$ vaut $\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{4}{9}\right)^{k}$.
   3. En déduire $A_n$ puis $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} A_n$. Conclure sur le paradoxe périmètre/aire.
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