Ascension Maths

I. Nuage de points

Deux grandeurs mesurées sur les mêmes individus se représentent par un nuage de points. La forme de ce nuage indique si un lien existe entre elles, et de quelle nature.

DéfinitionNuage et point moyen

On dispose de $n$ couples de valeurs $(x_i\,;y_i)$ , chacun donnant un point du plan.

Le point moyen $G$ a pour coordonnées les moyennes des deux séries :

G\,\big(\bar{x}\,;\bar{y}\big)

Il joue le rôle de centre de gravité du nuage.

Remarque

L'examen visuel du nuage précède tout calcul. Si les points s'alignent approximativement, un ajustement affine a du sens. S'ils dessinent une courbe, un changement de variable sera nécessaire. S'ils sont dispersés sans structure, aucun ajustement n'est légitime.

II. Droite des moindres carrés

DéfinitionAjustement affine

Ajuster un nuage par une droite d'équation $y=ax+b$ consiste à choisir cette droite de façon que les points en soient globalement les plus proches possible.

Pour chaque point, on mesure l'écart vertical entre l'ordonnée observée $y_i$ et l'ordonnée prédite $ax_i+b$ . La droite des moindres carrés est celle qui rend minimale la somme des carrés de ces écarts.

PropriétéPropriétés à connaître

La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen $G$ .

Ses coefficients se calculent à la calculatrice ou au tableur, la formule n'étant pas exigible. La démarche attendue consiste à obtenir l'équation, puis à l'utiliser.

Remarque

Le choix des carrés plutôt que des valeurs absolues n'est pas anodin : il pénalise fortement les points très éloignés, et il conduit à un calcul explicite. Un point aberrant peut donc déplacer sensiblement la droite, ce qui invite à le repérer avant de conclure.

MéthodeInterpoler et extrapoler

Interpoler consiste à estimer une valeur à l'intérieur de la plage des données observées : l'estimation est en général fiable.

Extrapoler consiste à sortir de cette plage : rien ne garantit que le modèle reste valable, et la prudence s'impose dans la conclusion.

Une prévision à long terme obtenue par prolongement d'une droite doit toujours être commentée, jamais annoncée comme un fait.

III. Coefficient de corrélation

DéfinitionCoefficient de corrélation linéaire

Le coefficient de corrélation linéaire, noté $r$ , mesure la qualité de l'alignement du nuage. Il appartient toujours à l'intervalle $[-1\,;1]$ .

Plus $|r|$ est proche de $1$ , plus les points sont alignés. Le signe de $r$ donne le sens de la relation : positif si les deux grandeurs augmentent ensemble, négatif si l'une croît quand l'autre décroît.

PropriétéLecture usuelle

| valeur de $|r|$ | interprétation courante | | --- | --- | | proche de $1$ | ajustement affine pertinent | | autour de $0{,}8$ | alignement acceptable, à commenter | | proche de $0$ | aucun lien linéaire |

Attention

Une corrélation forte ne prouve pas un lien de cause à effet. Deux grandeurs peuvent varier ensemble parce qu'une troisième les influence toutes les deux, ou par pure coïncidence.

Le nombre de coups de soleil et les ventes de glaces sont fortement corrélés, sans que l'un cause l'autre : la température explique les deux.

Attention

Un coefficient proche de $0$ signale l'absence de lien linéaire, pas l'absence de lien. Un nuage en forme de parabole peut donner un coefficient nul tout en présentant une relation parfaitement déterministe.

IV. Changement de variable

Lorsque le nuage dessine une courbe, un ajustement affine direct n'a pas de sens. Un changement de variable bien choisi redresse souvent le nuage et ramène au cas connu.

MéthodeLe cas exponentiel

Si les points semblent suivre une croissance exponentielle $y=k\,\text{e}^{ax}$ , on pose $z=\ln y$ . En effet

\ln y = \ln k + ax

Le nuage des points $(x_i\,;z_i)$ est alors approximativement aligné. On ajuste ce nouveau nuage par une droite $z=ax+b$ , puis on revient à $y$ par

y = \text{e}^{ax+b}=\text{e}^{b}\,\text{e}^{ax}

Exemple

Une population double environ tous les dix ans. Le nuage des effectifs en fonction du temps est nettement courbé, mais celui des logarithmes des effectifs s'aligne.

Un ajustement affine sur $z=\ln y$ donnant $z = 0{,}069\,t+9{,}2$ , le modèle s'écrit

y = \text{e}^{9{,}2}\,\text{e}^{0{,}069t} \approx 9\,900 \times \text{e}^{0{,}069t}

Le coefficient $0{,}069$ correspond bien à un doublement en dix ans, puisque $\text{e}^{0{,}69} \approx 2$ .

MéthodeAutres changements utiles

Pour un nuage évoquant une hyperbole, poser $z=\dfrac{1}{y}$ ou $u=\dfrac{1}{x}$ .

Pour une relation en racine carrée, poser $u=\sqrt{x}$ .

Dans tous les cas, le tracé du nouveau nuage sert de vérification : s'il n'est pas mieux aligné que le premier, le changement de variable n'était pas le bon.

Passer à la pratique

9 exercices corrigés sur ce chapitre.

Statistique à deux variables quantitatives

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Nuage de points

II. Droite des moindres carrés

III. Coefficient de corrélation

IV. Changement de variable