Chapitres de Maths complémentaires

Statistique à deux variables quantitatives

1
Exercice 1
Facile
On considère la série statistique double formée des quatre points suivants :
$A(2\,;\,1),\quad B(4\,;\,3),\quad C(6\,;\,4),\quad D(8\,;\,8).$
1. Représenter le nuage de points dans un repère orthogonal.
2. Calculer les coordonnées du point moyen $G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$ .
3. Placer $G$ sur le graphique.
Voir un indice
Le point moyen a pour abscisse la moyenne $\bar{x}$ des abscisses et pour ordonnée la moyenne $\bar{y}$ des ordonnées.
Voir la correction
On calcule les deux moyennes :
$\bar{x}=\frac{2+4+6+8}{4}=\frac{20}{4}=5, \qquad \bar{y}=\frac{1+3+4+8}{4}=\frac{16}{4}=4.$
Le point moyen est donc $G(5\,;\,4)$ . On le place au centre du nuage : il est situé à l'intersection des « milieux » du nuage et n'est pas nécessairement l'un des points de la série.
2
Exercice 2
Facile
On donne la série statistique double suivante.

$x_i$ 1 2 3 4 5
$y_i$ 3 4 7 8 8
1. Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ .
2. Calculer $\mathrm{cov}(x,y)$ et $V(x)$ .
3. En déduire, par le calcul, l'équation $y=ax+b$ de la droite des moindres carrés de $y$ en $x$ .
Voir un indice
On utilise $\mathrm{cov}(x,y)=\dfrac{1}{n}\sum x_i y_i-\bar{x}\,\bar{y}$ , $V(x)=\dfrac{1}{n}\sum x_i^2-\bar{x}^2$ , puis $a=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{V(x)}$ et $b=\bar{y}-a\bar{x}$ .
Voir la correction
Il y a $n=5$ couples.
$\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3, \qquad \bar{y}=\frac{3+4+7+8+8}{5}=\frac{30}{5}=6, \qquad G(3\,;\,6).$
Covariance :
$\sum x_i y_i = 1\cdot3+2\cdot4+3\cdot7+4\cdot8+5\cdot8 = 3+8+21+32+40 = 104,$ $\mathrm{cov}(x,y)=\frac{104}{5}-3\times 6 = 20{,}8-18 = 2{,}8.$
Variance de $x$ :
$\sum x_i^2 = 1+4+9+16+25 = 55, \qquad V(x)=\frac{55}{5}-3^2 = 11-9 = 2.$
Donc
$a=\frac{\mathrm{cov}(x,y)}{V(x)}=\frac{2{,}8}{2}=1{,}4, \qquad b=\bar{y}-a\bar{x}=6-1{,}4\times 3 = 6-4{,}2 = 1{,}8.$
La droite des moindres carrés a pour équation $y=1{,}4\,x+1{,}8$ .
3
Exercice 3
Facile
La masse (en grammes) d'un cristal en croissance est mesurée chaque jour.

Jour $t$ 1 2 3 4 5
Masse $m$ (g) 5 8 8 10 11{,}5

La calculatrice donne pour droite d'ajustement de $m$ en $t$ : $m=1{,}5\,t+4$ .
1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ et vérifier que $G$ appartient à la droite d'ajustement.
2. Estimer la masse du cristal à $t=2{,}5$ jours. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
3. Estimer la masse à $t=30$ jours. Que penser de cette valeur ?
Voir un indice
Le point moyen appartient toujours à la droite des moindres carrés : il suffit de vérifier que $1{,}5\,\bar{t}+4=\bar{m}$ . Une interpolation se fait à l'intérieur de la plage des données, une extrapolation à l'extérieur.
Voir la correction
1. Moyennes :
$\bar{t}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3, \qquad \bar{m}=\frac{5+8+8+10+11{,}5}{5}=\frac{42{,}5}{5}=8{,}5, \qquad G(3\,;\,8{,}5).$
On vérifie : $1{,}5\times 3+4 = 4{,}5+4 = 8{,}5 = \bar{m}$ . Donc $G$ appartient bien à la droite (c'est une propriété générale de la droite des moindres carrés).

2. Pour $t=2{,}5$ : $m = 1{,}5\times 2{,}5+4 = 3{,}75+4 = 7{,}75$ g. Comme $2{,}5$ est compris entre les valeurs mesurées ( $1$ et $5$ ), il s'agit d'une interpolation : l'estimation est raisonnablement fiable.

3. Pour $t=30$ : $m = 1{,}5\times 30+4 = 45+4 = 49$ g. La valeur $t=30$ est très éloignée de la plage étudiée : c'est une extrapolation lointaine. Rien ne garantit que la croissance reste affine aussi longtemps (la croissance finit toujours par ralentir). Cette estimation est à considérer avec beaucoup de prudence.
4
Exercice 4
Facile
On étudie deux caractères $x$ et $y$ observés sur cinq individus.

$x_i$ 1 2 3 4 5
$y_i$ 10 8 7 5 5
1. Calculer $\mathrm{cov}(x,y)$ , $V(x)$ et $V(y)$ .
2. En déduire le coefficient de corrélation linéaire $r$ , arrondi à $10^{-2}$ .
3. Interpréter ce résultat. Une forte corrélation prouve-t-elle un lien de cause à effet ?
Voir un indice
On utilise $r=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{\sqrt{V(x)\,V(y)}}$ . Le signe de $r$ est celui de la covariance ; $|r|$ proche de $1$ traduit un fort alignement.
Voir la correction
1. $n=5$ .
$\bar{x}=3,\qquad \bar{y}=\frac{10+8+7+5+5}{5}=\frac{35}{5}=7.$ $\sum x_i y_i = 10+16+21+20+25 = 92, \qquad \mathrm{cov}(x,y)=\frac{92}{5}-3\times 7 = 18{,}4-21 = -2{,}6.$ $V(x)=\frac{55}{5}-9 = 2, \qquad \sum y_i^2 = 100+64+49+25+25 = 263,\quad V(y)=\frac{263}{5}-7^2 = 52{,}6-49 = 3{,}6.$
2.
$r=\frac{-2{,}6}{\sqrt{2\times 3{,}6}}=\frac{-2{,}6}{\sqrt{7{,}2}}\approx\frac{-2{,}6}{2{,}683}\approx -0{,}97.$
3. $r$ est proche de $-1$ : il existe une forte corrélation linéaire négative (quand $x$ augmente, $y$ tend à diminuer). En revanche, une forte corrélation ne prouve jamais un lien de cause à effet : elle indique seulement une liaison statistique, qui peut être due au hasard ou à une troisième variable.
5
Loi d'Ohm par moindres carrés
Moyen
Pour vérifier la loi d'Ohm ( $U=R\,I$ ), un élève mesure la tension $U$ (en volts) aux bornes d'un conducteur ohmique pour différentes intensités $I$ (en ampères).

$I$ (A) 0{,}1 0{,}2 0{,}3 0{,}4 0{,}5
$U$ (V) 2{,}1 3{,}9 6{,}2 7{,}8 10{,}0
1. Déterminer l'équation de la droite des moindres carrés de $U$ en $I$ , sous la forme $U=aI+b$ .
2. La loi d'Ohm prévoit une droite passant par l'origine. Le résultat est-il cohérent ?
3. En déduire une valeur approchée de la résistance $R$ .
4. Calculer le coefficient de corrélation $r$ (arrondi à $10^{-3}$ ) et conclure.
Voir un indice
La résistance correspond à la pente $a$ de la droite (loi d'Ohm $U=R\,I$ ). On attend une ordonnée à l'origine $b$ proche de $0$ et un coefficient $r$ très proche de $1$ .
Voir la correction
Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.
Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité
6
Ajustement affine du taux de CO2
Moyen
Le tableau donne la concentration moyenne de dioxyde de carbone ( $\mathrm{CO_2}$ ) dans l'atmosphère, en parties par million (ppm), par décennie. On note $x$ le rang de la décennie ( $x=0$ correspond à $1960$ , $x=1$ à $1970$ , etc.).

Année 1960 1970 1980 1990 2000
$x$ 0 1 2 3 4
$\mathrm{CO_2}$ (ppm) 315 330 342 357 371
1. Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ .
2. Déterminer l'équation $y=ax+b$ de la droite des moindres carrés de $y$ en $x$ .
3. À l'aide de ce modèle, estimer la concentration de $\mathrm{CO_2}$ prévue pour l'année $2050$ .
4. Peut-on accorder une confiance totale à cette prévision ?
Voir un indice
L'année $2050$ correspond au rang $x=9$ . Attention : c'est une extrapolation, il faut donc rester critique quant à la validité du modèle affine sur une aussi longue durée.
Voir la correction
Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.
Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité
7
Ajustement exponentiel d'une désintégration
Moyen
Un échantillon radioactif contient $N(t)$ noyaux non désintégrés à l'instant $t$ (en heures).

$t$ (h) 0 1 2 3 4
$N$ 800 400 200 100 50
1. Le nuage de points $(t\,;\,N)$ est-il aligné ? Pourquoi un ajustement affine direct est-il ici mal adapté ?
2. On pose $y=\ln N$ . Compléter le tableau des $y_i$ (valeurs arrondies à $10^{-3}$ ) et vérifier que le nuage $(t\,;\,y)$ est aligné.
3. Déterminer la droite des moindres carrés $y=at+b$ , puis en déduire une expression de $N$ en fonction de $t$ sous la forme $N=N_0\,e^{-\lambda t}$ .
4. En déduire la demi-vie de cet échantillon.
Voir un indice
Une décroissance radioactive est exponentielle : $N(t)=N_0e^{-\lambda t}$ . En prenant le logarithme népérien, $\ln N = -\lambda t + \ln N_0$ devient une fonction affine de $t$ . On identifie alors $-\lambda=a$ et $\ln N_0=b$ . La demi-vie vérifie $T=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ .
Voir la correction
Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.
Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité
8
Exercice 8
Difficile
La loi de Moore affirme que le nombre de transistors $N$ d'un microprocesseur double environ tous les deux ans. Le tableau ci-dessous modélise cette évolution (valeurs de $N$ exprimées en nombre de transistors). On note $x$ le nombre d'années écoulées depuis $1970$ .

$x$ (années) 0 2 4 6 8
$N$ 2000 4000 8000 16000 32000
1. Justifier qu'un ajustement affine de $N$ en $x$ est inadapté, mais qu'un ajustement affine de $y=\log_{10} N$ en $x$ convient.
2. Déterminer la droite des moindres carrés $y=ax+b$ (arrondir $a$ et $b$ à $10^{-3}$ ).
3. En déduire une expression de $N$ en fonction de $x$ , puis retrouver le temps de doublement.
4. Prévoir le nombre de transistors pour $x=20$ (année $1990$ ).
Voir un indice
Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.
Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité
Voir la correction
Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.
Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité
9
Partie A --- Corrélation n'est pas causalité
Difficile
Dans une station balnéaire, on relève sur cinq journées les ventes de glaces $x$ (en centaines) et le nombre $y$ de coups de soleil signalés.

$x$ 20 30 40 50 60
$y$ 5 8 10 13 14
1. Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ (arrondi à $10^{-2}$ ).
2. Peut-on en conclure que manger des glaces provoque des coups de soleil ? Expliquer.
\medskip Partie B --- La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés. On considère $n$ couples $(x_i\,;\,y_i)$ et, pour une droite $y=ax+b$ , la somme des carrés des écarts verticaux :
$S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-ax_i-b\bigr)^2.$
1. En annulant la dérivée partielle de $S$ par rapport à $b$ , montrer que $b=\bar{y}-a\bar{x}$ (donc que $G$ appartient à la droite).
2. En annulant la dérivée partielle par rapport à $a$ , montrer que $a=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{V(x)}$ .
Voir un indice
Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.
Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité
Voir la correction
Ce contenu est réservé : laisse tes coordonnées pour débloquer toutes les indications et corrections du site, gratuitement.
Tes coordonnées servent uniquement à t'informer de nos ressources et stages — jamais de spam. Politique de confidentialité

Année	1960	1970	1980	1990	2000
$x$	0	1	2	3	4
$\mathrm{CO_2}$ (ppm)	315	330	342	357	371

Statistique à deux variables quantitatives

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Loi d'Ohm par moindres carrés

Ajustement affine du taux de CO2

Ajustement exponentiel d'une désintégration

Exercice 8

Partie A --- Corrélation n'est pas causalité