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Cours de Maths complémentaires

Primitives et équations différentielles

Retrouver une fonction à partir de sa dérivée, et résoudre les équations différentielles y' = ay + b qui modélisent les évolutions continues.

Avant de commencer

  • •Calculer une dérivée, y compris de fonction composée.
  • •Connaître la fonction exponentielle.

À la fin du chapitre, tu sais

  • •Déterminer une primitive d'une fonction usuelle.
  • •Trouver la primitive vérifiant une condition initiale.
  • •Résoudre y′=ayy'=ay et y′=ay+by'=ay+b.
  • •Interpréter la solution dans un contexte concret.
Sommaire

I. Primitives

Une équation différentielle relie une grandeur à sa vitesse de variation. C'est le langage naturel des modèles d'évolution : refroidissement, charge d'un condensateur, propagation d'une épidémie. Le premier cas, le plus simple, consiste à remonter directement de la dérivée à la fonction.

DéfinitionPrimitive

Une primitive d'une fonction ff continue sur un intervalle II est une fonction FF dérivable sur II telle que F′=fF'=f.

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, et deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

PropriétéPrimitives usuelles
f(x)f(x)une primitive F(x)F(x)
kkkxkx
xnx^n, n⩾0n \geqslant 0xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}
1x\dfrac{1}{x}ln⁡x\ln x sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[
1x2\dfrac{1}{x^2}−1x-\dfrac{1}{x}
ex\text{e}^{x}ex\text{e}^{x}
eax\text{e}^{ax}1a eax\dfrac{1}{a}\,\text{e}^{ax}
MéthodePrimitive vérifiant une condition

Les primitives d'une fonction forment une famille F(x)+CF(x)+C. Une condition du type « la primitive qui vaut 55 en 00 » sélectionne une unique fonction : il suffit d'écrire l'égalité imposée et d'en déduire la valeur de CC.

Exemple

Cherchons la primitive de f(x)=3x2+exf(x)=3x^2+\text{e}^{x} qui s'annule en 00.

La forme générale est F(x)=x3+ex+CF(x)=x^3+\text{e}^{x}+C. La condition F(0)=0F(0)=0 donne 1+C=01+C=0, donc C=−1C=-1 et

F(x)=x3+ex−1F(x)=x^3+\text{e}^{x}-1

II. Équations différentielles

DéfinitionÉquation différentielle

Une équation différentielle a pour inconnue une fonction. Résoudre l'équation, c'est déterminer toutes les fonctions qui la vérifient.

L'équation y′=fy'=f demande de trouver les primitives de ff. Les équations y′=ayy'=ay et y′=ay+by'=ay+b, où aa et bb sont des réels, sont celles du programme.

ThéorèmeSolutions

Les solutions sur R\mathbb{R} de l'équation y′=ayy'=ay sont les fonctions

x↦C eaxx \mapsto C\,\text{e}^{ax}

Pour a≠0a \neq 0, les solutions de y′=ay+by'=ay+b sont les fonctions

x↦C eax−bax \mapsto C\,\text{e}^{ax}-\frac{b}{a}

où CC est un réel quelconque, déterminé par la condition initiale lorsqu'elle est donnée.

MéthodeLa démarche
  1. Identifier les coefficients aa et bb en mettant l'équation sous la forme y′=ay+by'=ay+b.
  2. Chercher la solution constante, obtenue pour y′=0y'=0, soit y=−bay=-\dfrac{b}{a}.
  3. Écrire la forme générale des solutions.
  4. Utiliser la condition initiale pour calculer CC.
  5. Interpréter, notamment le comportement à long terme.
PropriétéAllure des courbes

Le signe de aa décide de tout.

Si a<0a<0, la solution tend vers la valeur constante −ba-\dfrac{b}{a} : le modèle se stabilise, et cette valeur s'appelle l'état d'équilibre.

Si a>0a>0, la solution s'éloigne indéfiniment de cette valeur : le modèle diverge.

III. Modéliser une évolution

ExempleRefroidissement

La loi de refroidissement de Newton énonce que la vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à l'écart entre sa température et celle du milieu.

Pour un café à 8080 degrés dans une pièce à 2020 degrés, avec un coefficient 0,050{,}05 :

T′=−0,05 (T−20)=−0,05 T+1T'=-0{,}05\,(T-20)=-0{,}05\,T+1

La solution constante vaut 2020, et la forme générale est T(t)=C e−0,05t+20T(t)=C\,\text{e}^{-0{,}05t}+20. La condition T(0)=80T(0)=80 donne C=60C=60, donc

T(t)=60 e−0,05t+20T(t)=60\,\text{e}^{-0{,}05t}+20

La température tend vers celle de la pièce, ce qui est bien le comportement attendu.

ExempleÉlimination d'un médicament avec perfusion

Une substance est éliminée proportionnellement à la quantité présente, au taux 0,20{,}2 par heure, tandis qu'une perfusion en apporte 66 milligrammes par heure. En notant Q(t)Q(t) la quantité présente :

Q′=−0,2 Q+6Q'=-0{,}2\,Q+6

L'état d'équilibre vaut 60,2=30\dfrac{6}{0{,}2}=30 milligrammes : à long terme, l'apport compense exactement l'élimination.

Remarque

L'état d'équilibre se lit sans résoudre l'équation : il suffit d'annuler la dérivée. Ce calcul de trente secondes donne déjà la réponse à la question « que se passe-t-il à long terme ? », et il permet de contrôler le résultat final.

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