Primitives et équations différentielles

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\,e^{2x} - 1$. Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle $y' = 2y + 2$. Cette solution vérifie-t-elle la condition initiale $y(0) = 2$ ?

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   Une fonction $f$ est solution de $y' = 2y + 2$ lorsque, pour tout réel $x$, $f'(x) = 2\,f(x) + 2$. Calcule séparément $f'(x)$ et $2\,f(x)+2$, puis compare.

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   La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et

   $$f'(x) = 3 \times 2\,e^{2x} = 6\,e^{2x}.$$

   D'autre part,

   $$2\,f(x) + 2 = 2\bigl(3\,e^{2x} - 1\bigr) + 2 = 6\,e^{2x} - 2 + 2 = 6\,e^{2x}.$$

   Pour tout réel $x$, on a donc $f'(x) = 2\,f(x) + 2$ : $f$ est bien solution de l'équation différentielle $y' = 2y + 2$.

   Enfin, $f(0) = 3\,e^{0} - 1 = 3 - 1 = 2$. La condition initiale $y(0) = 2$ est vérifiée.

2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes, en précisant l'intervalle.

   1. $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ sur $\mathbb{R}$ ;
   2. $g(x) = e^{x} + \dfrac{1}{x}$ sur $\,]0\,;+\infty[$ ;
   3. $h(x) = \cos x$ sur $\mathbb{R}$.
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   Utilise les primitives de référence : une primitive de $x^{n}$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$ (pour $x>0$), une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$, une primitive de $\cos x$ est $\sin x$. N'oublie pas la constante $C$.

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   Dans chaque cas, $C$ désigne une constante réelle quelconque.

   1. Les primitives de $f$ sont $F(x) = x^{3} - 2x^{2} + 5x + C$. En effet $F'(x) = 3x^2 - 4x + 5 = f(x)$.
   2. Les primitives de $g$ sont $G(x) = e^{x} + \ln x + C$ sur $\,]0\,;+\infty[$. En effet $G'(x) = e^{x} + \dfrac{1}{x} = g(x)$.
   3. Les primitives de $h$ sont $H(x) = \sin x + C$, car $H'(x) = \cos x = h(x)$.
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$, en reconnaissant une forme usuelle.

   1. $f(x) = 2x\,e^{x^{2}}$ ;
   2. $g(x) = \dfrac{2x + 2}{x^{2} + 2x + 3}$ ;
   3. $h(x) = 6(3x + 1)$.
   Voir un indice

   Repère les formes $e^{u}u'$, $\dfrac{u'}{u}$ et $2uu'$, dont les primitives sont respectivement $e^{u}$, $\ln(u)$ (quand $u>0$) et $u^{2}$. Identifie à chaque fois la fonction $u$.

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   1. On pose $u(x) = x^{2}$, donc $u'(x) = 2x$ et $f = u'\,e^{u}$. Une primitive est $F(x) = e^{x^{2}}$. Vérification : $F'(x) = 2x\,e^{x^{2}} = f(x)$.
   2. On pose $u(x) = x^{2} + 2x + 3$, donc $u'(x) = 2x + 2$ et $g = \dfrac{u'}{u}$. De plus $u(x) = (x+1)^2 + 2 > 0$ sur $\mathbb{R}$, donc une primitive est $G(x) = \ln\bigl(x^{2} + 2x + 3\bigr).$ Vérification : $G'(x) = \dfrac{2x+2}{x^2+2x+3} = g(x)$.
   3. On pose $u(x) = 3x + 1$, donc $u'(x) = 3$ et $h(x) = 6(3x+1) = 2\,(3x+1)\times 3 = 2\,u\,u'$. Une primitive est $H(x) = (3x + 1)^{2}$. Vérification : $H'(x) = 2(3x+1)\times 3 = 6(3x+1) = h(x)$.
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Résoudre les équations différentielles suivantes, avec la condition initiale indiquée.

   1. $y' = 3y$ avec $y(0) = 2$ ;
   2. $y' = -2y + 6$ avec $y(0) = 1$.
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   Pour $y' = ay$, les solutions sont $x \mapsto K\,e^{ax}$. Pour $y' = ay + b$ avec $a \neq 0$, cherche d'abord une solution particulière constante $y = c$ (donc $y' = 0$, ce qui donne $ac + b = 0$), puis ajoute la solution générale de $y' = ay$. La condition initiale détermine $K$.

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   1. Les solutions de $y' = 3y$ sont les fonctions $y(x) = K\,e^{3x}$, $K \in \mathbb{R}$. La condition $y(0) = 2$ donne $K = 2$. La solution cherchée est $y(x) = 2\,e^{3x}$.
   2. On cherche une solution particulière constante $y = c$ : alors $y' = 0$ et l'équation donne $0 = -2c + 6$, d'où $c = 3$. Les solutions de $y' = -2y$ sont $x \mapsto K\,e^{-2x}$, donc la solution générale est $y(x) = K\,e^{-2x} + 3, \qquad K \in \mathbb{R}.$ La condition $y(0) = 1$ donne $K + 3 = 1$, soit $K = -2$. La solution est $y(x) = -2\,e^{-2x} + 3$. Vérification : $y'(x) = 4\,e^{-2x}$ et $-2y(x) + 6 = -2(-2e^{-2x}+3)+6 = 4\,e^{-2x}$.
5. 5

   Refroidissement de Newton

   Moyen

   Une tasse de café est sortie à la température de $90\,^{\circ}\mathrm{C}$ dans une pièce maintenue à $20\,^{\circ}\mathrm{C}$. On note $\theta(t)$ sa température (en $^{\circ}\mathrm{C}$) au bout de $t$ minutes. La loi de Newton conduit au modèle

   $$\theta'(t) = -0{,}1\,\bigl(\theta(t) - 20\bigr), \qquad \theta(0) = 90.$$

   1. En posant $u(t) = \theta(t) - 20$, montrer que $u$ vérifie $u' = -0{,}1\,u$.
   2. En déduire l'expression de $\theta(t)$.
   3. Au bout de combien de minutes le café atteint-il $40\,^{\circ}\mathrm{C}$ ? (Arrondir à $0{,}1$ min.)
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   Comme $20$ est une constante, $u' = \theta'$. Résous $u' = -0{,}1\,u$, puis reviens à $\theta = u + 20$. Pour la dernière question, résous $\theta(t) = 40$ à l'aide du logarithme népérien.

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6. 6

   Charge d'un condensateur

   Moyen

   Dans un circuit RC alimenté par une tension constante $E$, la tension $u$ (en volts) aux bornes du condensateur vérifie

   $$u'(t) = \frac{E - u(t)}{RC},$$

   où $t$ est en secondes. On prend $E = 5$ V, $R = 1000\ \Omega$ et $C = 10^{-3}$ F, et le condensateur est initialement déchargé : $u(0) = 0$.

   1. Vérifier que $RC = 1$ s, puis écrire l'équation sous la forme $u' = au + b$.
   2. Déterminer $u(t)$.
   3. Calculer la tension au bout de $t = 1$ s. (Arrondir à $0{,}01$ V.)
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   Développe $\dfrac{E-u}{RC}$ pour identifier $a$ et $b$. Cherche une solution particulière constante, puis applique la condition initiale. Rappelle que $e^{-1} \approx 0{,}37$.

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7. 7

   Décroissance radioactive

   Moyen

   Un échantillon d'iode 131 contient initialement $N_{0}$ noyaux. Le nombre $N(t)$ de noyaux non désintégrés au bout de $t$ jours vérifie

   $$N'(t) = -\lambda\,N(t), \qquad \text{avec } \lambda = \frac{\ln 2}{8} \ \text{jour}^{-1}.$$

   1. Déterminer $N(t)$ en fonction de $N_{0}$ et $t$.
   2. Vérifier que la demi-vie (durée au bout de laquelle il reste la moitié des noyaux) vaut $8$ jours.
   3. Quelle proportion de noyaux subsiste-t-il au bout de $24$ jours ?
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   L'équation $N' = -\lambda N$ a pour solutions $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$. Pour la demi-vie, résous $N(t) = \dfrac{N_0}{2}$. Pour $24$ jours, remarque que $24 = 3 \times 8$.

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8. 8

   Chute avec frottement fluide et méthode d'Euler

   Difficile

   Un objet tombe dans un fluide. Sa vitesse $v(t)$ (en $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$) vérifie

   $$v'(t) = 9{,}8 - 0{,}5\,v(t), \qquad v(0) = 0.$$

   1. Déterminer la vitesse limite $v_{\ell}$, c'est-à-dire la valeur constante $v$ telle que $v' = 0$.
   2. Résoudre l'équation différentielle et donner l'expression de $v(t)$.
   3. On applique la méthode d'Euler avec le pas $h = 0{,}1$ et la relation $v_{n+1} = v_n + h\,\bigl(9{,}8 - 0{,}5\,v_n\bigr)$, en partant de $v_0 = 0$. Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$ (valeurs approchées de $v$ aux instants $0{,}1$ ; $0{,}2$ ; $0{,}3$ s).
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9. 9

   Structure des solutions de $y' = ay + b$

   Difficile

   On considère l'équation différentielle $(E) : y' = ay + b$, où $a$ et $b$ sont des réels avec $a \neq 0$. On admet que les solutions de l'équation $y' = ay$ sont exactement les fonctions $x \mapsto C\,e^{ax}$, $C \in \mathbb{R}$.

   1. Vérifier que la fonction constante $y_p = -\dfrac{b}{a}$ est une solution de $(E)$.
   2. Soit $y$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z = y - y_p$ est solution de $y' = ay$.
   3. En déduire l'ensemble de toutes les solutions de $(E)$.
   4. Application : résoudre $y' = 4y - 8$ avec $y(0) = 5$.
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