Lois discrètes

Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $\{1\,;2\,;\ldots\,;n\}$ lorsque chaque valeur a la même probabilité :

$$P(X=k)=\frac{1}{n} \qquad \text{pour } k \text{ entre } 1 \text{ et } n$$

Son espérance vaut

$$E(X)=\frac{n+1}{2}$$

Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues, succès et échec, la probabilité du succès valant $p$.

La variable qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ :

$$E(X)=p \qquad V(X)=p(1-p) \qquad \sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$$

Un schéma de Bernoulli consiste à répéter $n$ fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

Le nombre de chemins de l'arbre comportant exactement $k$ succès se note $\binom{n}{k}$ et s'appelle un coefficient binomial. Ces nombres se calculent à la calculatrice, ou se lisent dans le triangle de Pascal, où chacun est la somme des deux situés au-dessus de lui.

La variable $X$ qui compte le nombre de succès dans un tel schéma suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n\,;p)$, et pour $k$ entier compris entre $0$ et $n$ :

$$P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}$$

Son espérance vaut $np$ et son écart type $\sqrt{np(1-p)}$.

On répète indéfiniment, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ non nul. La variable $X$ égale au rang du premier succès suit la loi géométrique de paramètre $p$, et pour tout entier $k \geqslant 1$ :

$$P(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p$$

Cette formule se lit directement : $k-1$ échecs, puis un succès.