Lois discrètes

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   On lance un dé équilibré à six faces et on note $X$ le numéro obtenu.

   1. Quelle est la loi de $X$ ? Donner $P(X=k)$ pour $k \in \{1,2,3,4,5,6\}$.
   2. Calculer l'espérance $E(X)$.
   3. Interpréter concrètement la valeur obtenue.
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   $X$ suit une loi uniforme sur $\{1,\dots,6\}$ : toutes les valeurs sont équiprobables. Pour une loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$, l'espérance vaut $\dfrac{n+1}{2}$.

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   1. Le dé étant équilibré, chaque face a la même probabilité d'apparaître. $X$ suit donc la loi uniforme sur $\{1,2,3,4,5,6\}$ et pour tout $k \in \{1,\dots,6\}$ : $P(X=k) = \frac{1}{6}.$
   2. Par définition de l'espérance : $E(X) = \sum_{k=1}^{6} k \cdot P(X=k) = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = 3{,}5.$ On retrouve la formule $E(X) = \dfrac{n+1}{2} = \dfrac{6+1}{2} = 3{,}5$.
   3. En répétant un très grand nombre de fois le lancer, la moyenne des numéros obtenus se rapproche de $3{,}5$. Cette valeur n'est pas atteignable en un seul lancer : c'est une moyenne théorique.
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Dans une usine, une machine produit des pièces. Chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $0{,}3$, indépendamment des autres. On prélève une pièce et on note $X=1$ si elle est défectueuse, $X=0$ sinon.

   1. Justifier que $X$ suit une loi de Bernoulli et préciser son paramètre.
   2. Calculer l'espérance $E(X)$.
   3. Calculer la variance $V(X)$ puis l'écart type $\sigma(X)$ (arrondi au millième).
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   Une loi de Bernoulli de paramètre $p$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$ avec $P(X=1)=p$. Alors $E(X)=p$, $V(X)=p(1-p)$ et $\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$.

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   1. $X$ ne prend que deux valeurs : $1$ (succès : la pièce est défectueuse) avec probabilité $p=0{,}3$, et $0$ (échec) avec probabilité $1-p=0{,}7$. C'est donc une loi de Bernoulli de paramètre $p=0{,}3$.
   2. $E(X) = p = 0{,}3$.
   3. $V(X) = p(1-p) = 0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}21$. $\sigma(X) = \sqrt{0{,}21} \approx 0{,}458.$
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   On s'intéresse au nombre de façons de choisir des objets à l'aide des coefficients binomiaux.

   1. Compléter la ligne $n=5$ du triangle de Pascal (c'est-à-dire $\binom{5}{0},\binom{5}{1},\dots,\binom{5}{5}$) en utilisant la ligne $n=4$ : $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$.
   2. Vérifier la relation de Pascal $\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2}$.
   3. Sans calcul supplémentaire, donner la valeur de $\binom{5}{3}$ en utilisant une propriété de symétrie.
   4. Dans un schéma de Bernoulli à $5$ épreuves, que représente $\binom{5}{2}$ ?
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   La relation de Pascal est $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ : chaque terme est la somme des deux termes situés au-dessus de lui. La symétrie s'écrit $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.

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   1. En additionnant deux à deux les termes voisins de la ligne $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$ et en encadrant par des $1$, on obtient la ligne $n=5$ : $\binom{5}{0}=1,\quad \binom{5}{1}=5,\quad \binom{5}{2}=10,\quad \binom{5}{3}=10,\quad \binom{5}{4}=5,\quad \binom{5}{5}=1.$
   2. $\binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10 = \binom{5}{2}$. La relation de Pascal est vérifiée.
   3. Par symétrie, $\binom{5}{3} = \binom{5}{5-3} = \binom{5}{2} = 10$.
   4. $\binom{5}{2}$ est le nombre de façons d'obtenir exactement $2$ succès au cours des $5$ épreuves (le nombre de chemins de l'arbre comportant $2$ succès).
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On répète une même expérience aléatoire de manière indépendante jusqu'au premier succès. À chaque répétition, la probabilité de succès est $p=0{,}2$. On note $X$ le rang du premier succès.

   1. Quelle est la loi de $X$ ? Donner l'expression de $P(X=k)$ pour $k \geq 1$.
   2. Calculer $P(X=3)$.
   3. Calculer $P(X \leq 2)$.
   4. Donner l'espérance $E(X)$ et l'interpréter.
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   $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p$ : $P(X=k) = (1-p)^{k-1}\,p$. Pour $P(X\leq 2)$, on peut sommer $P(X=1)+P(X=2)$, ou utiliser $P(X\leq n) = 1-(1-p)^n$. L'espérance est $E(X)=\dfrac{1}{p}$.

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   1. $X$ compte le rang du premier succès dans une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes : $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p=0{,}2$. Pour tout entier $k\geq 1$ : $P(X=k) = (1-p)^{k-1}\,p = (0{,}8)^{k-1}\times 0{,}2.$
   2. $P(X=3) = (0{,}8)^{2}\times 0{,}2 = 0{,}64\times 0{,}2 = 0{,}128$.
   3. $P(X\leq 2) = P(X=1)+P(X=2) = 0{,}2 + 0{,}8\times 0{,}2 = 0{,}2 + 0{,}16 = 0{,}36.$ On peut vérifier : $1-(0{,}8)^2 = 1-0{,}64 = 0{,}36$.
   4. $E(X) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{0{,}2} = 5$. En moyenne, il faut $5$ répétitions pour obtenir le premier succès.
5. 5

   Loi binomiale et contrôle qualité

   Moyen

   Une entreprise fabrique des composants électroniques. La probabilité qu'un composant soit défectueux est $p=0{,}1$. Pour un contrôle qualité, on prélève au hasard un lot de $10$ composants (la production est suffisamment grande pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise). On note $X$ le nombre de composants défectueux dans le lot.

   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
   2. Calculer la probabilité qu'aucun composant ne soit défectueux (arrondi au dix-millième).
   3. Calculer $P(X \leq 1)$ (arrondi au dix-millième).
   4. Le lot est accepté si $P(X \leq 1)$ est réalisé, c'est-à-dire s'il contient au plus un composant défectueux. Calculer la probabilité que le lot soit refusé.
   5. Donner l'espérance et l'écart type de $X$ (écart type arrondi au centième).
   Voir un indice

   On a un schéma de Bernoulli : $n=10$ épreuves indépendantes, succès = « composant défectueux » de probabilité $p=0{,}1$. Alors $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $E(X)=np$ et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.

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6. 6

   Surréservation et loi binomiale

   Moyen

   Un petit hôtel dispose de $4$ chambres. Sachant que certains clients ne se présentent pas, l'hôtel accepte $5$ réservations pour une même nuit (surréservation). Chaque client réservataire se présente effectivement avec la probabilité $0{,}8$, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de clients qui se présentent.

   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
   2. Il y a surréservation (un client ne trouve pas de chambre) si $X > 4$. Calculer la probabilité de cet événement.
   3. Calculer la probabilité que tous les clients présents obtiennent une chambre.
   4. En moyenne, combien de clients se présentent-ils ?
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   Chaque client « se présente » (succès, $p=0{,}8$) ou non, de façon indépendante : $X$ suit $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}8)$. L'événement « surréservation » est $\{X=5\}$ car $X$ ne dépasse pas $5$. « Tous obtiennent une chambre » est l'événement contraire.

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7. 7

   Loi géométrique du premier six

   Moyen

   Au cours d'un jeu, un joueur lance de manière indépendante un dé équilibré à six faces autant de fois qu'il le faut jusqu'à obtenir un $6$. On note $X$ le nombre de lancers nécessaires (le rang du premier $6$).

   1. Quelle est la loi de $X$ ? Préciser $P(X=k)$.
   2. Calculer la probabilité que le premier $6$ apparaisse au troisième lancer (valeur exacte puis arrondie au millième).
   3. Calculer la probabilité qu'il faille strictement plus de $4$ lancers, c'est-à-dire $P(X>4)$.
   4. On souhaite déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X\leq n) \geq 0{,}9$. Déterminer cet entier.
   Voir un indice

   $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p=\dfrac{1}{6}$. On utilise $P(X>n) = (1-p)^n$ et $P(X\leq n) = 1-(1-p)^n$. Pour la question 4, résoudre $(1-p)^n \leq 0{,}1$ à l'aide du logarithme (ou par essais successifs).

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi géométrique de paramètre $p \in \ ]0\,;1[$, et on pose $q=1-p$. L'objectif est de démontrer la propriété d'absence de mémoire.

   1. Montrer que pour tout entier $n\geq 0$, $P(X>n) = q^{\,n}$.
   2. En déduire que pour tous entiers $n\geq 0$ et $m\geq 0$ : $P_{(X>n)}(X>n+m) = P(X>m).$
   3. Interpréter concrètement ce résultat dans le contexte du lancer d'un dé jusqu'au premier $6$.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3\,;\,p)$, avec $p\in[0\,;1]$ et $q=1-p$. On admet la formule $P(X=k)=\binom{3}{k}p^k q^{3-k}$. On souhaite démontrer directement que $E(X)=3p$ (sans utiliser la formule générale $E(X)=np$).

   1. Écrire $P(X=0)$, $P(X=1)$, $P(X=2)$ et $P(X=3)$ en fonction de $p$ et $q$.
   2. Vérifier que la somme de ces quatre probabilités vaut $1$.
   3. Calculer $E(X)$ et montrer, après factorisation, que $E(X)=3p$.
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