Ascension Maths

I. Notion de densité

Une durée d'attente, une taille, un temps de fonctionnement prennent toutes les valeurs d'un intervalle. Compter les issues n'a plus de sens : la probabilité se lit désormais comme une aire.

DéfinitionDensité et probabilité

Une densité de probabilité sur un intervalle $I$ est une fonction $f$ continue et positive sur $I$ , dont l'intégrale sur $I$ vaut $1$ .

Une variable aléatoire $X$ suit la loi de densité $f$ lorsque, pour tout intervalle $[a\,;b]$ inclus dans $I$ :

P(a \leqslant X \leqslant b)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

Attention

Pour une loi à densité, la probabilité d'une valeur isolée est nulle : $P(X=a)=0$ , puisque l'aire au-dessus d'un point est nulle.

Les inégalités strictes et larges donnent donc les mêmes probabilités, ce qui simplifie les calculs et surprend souvent à la première rencontre.

DéfinitionFonction de répartition

La fonction de répartition de $X$ est la fonction définie par

F(x)=P(X \leqslant x)

Elle est croissante, à valeurs dans $[0\,;1]$ , et permet de calculer toutes les probabilités utiles :

P(a \leqslant X \leqslant b)=F(b)-F(a) \qquad P(X>a)=1-F(a)

DéfinitionEspérance et variance

Pour une variable de densité $f$ sur $[a\,;b]$ :

E(X)=\int_a^b x\,f(x)\,\mathrm{d}x \qquad V(X)=\int_a^b x^2 f(x)\,\mathrm{d}x-\big(E(X)\big)^2

Ces formules sont l'exacte transposition continue des sommes utilisées dans le cas discret.

II. Loi uniforme

DéfinitionLoi uniforme sur un intervalle

Une variable aléatoire suit la loi uniforme sur $[a\,;b]$ lorsque sa densité est constante sur cet intervalle :

f(x)=\frac{1}{b-a}

Toutes les portions de même longueur ont alors la même probabilité.

PropriétéCalculs

Pour $a \leqslant c \leqslant d \leqslant b$ :

P(c \leqslant X \leqslant d)=\frac{d-c}{b-a} \qquad E(X)=\frac{a+b}{2}

La probabilité est donc un simple rapport de longueurs, et l'espérance est le milieu de l'intervalle.

Exemple

Un bus passe toutes les $20$ minutes et un voyageur arrive à un instant quelconque. Son temps d'attente suit la loi uniforme sur $[0\,;20]$ .

La probabilité d'attendre moins de $5$ minutes vaut $\dfrac{5}{20}=0{,}25$ , et l'attente moyenne est de $10$ minutes.

III. Loi exponentielle

La loi exponentielle modélise les durées de vie et les temps d'attente lorsque le phénomène ne vieillit pas : durée de fonctionnement d'un composant électronique, temps entre deux appels, désintégration d'un atome.

DéfinitionLoi exponentielle

Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$ lorsque sa densité sur $[0\,;+\infty[$ est

f(x)=\lambda\,\text{e}^{-\lambda x}

PropriétéCalculs

Pour tout réel $t \geqslant 0$ :

P(X \leqslant t)=1-\text{e}^{-\lambda t} \qquad P(X>t)=\text{e}^{-\lambda t} \qquad E(X)=\frac{1}{\lambda}

L'espérance s'interprète comme la durée de vie moyenne, ce qui permet souvent de retrouver $\lambda$ à partir d'une donnée de l'énoncé.

Exemple

La durée de vie d'un composant, en années, suit une loi exponentielle de durée moyenne $8$ ans, donc $\lambda = \dfrac{1}{8}=0{,}125$ .

La probabilité qu'il fonctionne plus de $10$ ans vaut

P(X>10)=\text{e}^{-0{,}125 \times 10}=\text{e}^{-1{,}25} \approx 0{,}287

PropriétéAbsence de mémoire

Pour tous réels positifs $t$ et $s$ :

P_{X>t}(X>t+s)=P(X>s)

Un composant qui a déjà fonctionné $t$ années a la même probabilité de tenir $s$ années de plus qu'un composant neuf. Le modèle décrit donc un objet qui ne s'use pas, ce qui convient à l'électronique mais pas à une pièce mécanique.

Démonstration : Absence de mémoire

Par définition d'une probabilité conditionnelle :

P_{X>t}(X>t+s)=\frac{P\big((X>t+s) \cap (X>t)\big)}{P(X>t)}

L'évènement $(X>t+s)$ est inclus dans $(X>t)$ , donc leur intersection est $(X>t+s)$ . Ainsi

P_{X>t}(X>t+s)=\frac{\text{e}^{-\lambda(t+s)}}{\text{e}^{-\lambda t}}=\text{e}^{-\lambda s}=P(X>s)

Lois à densité

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Notion de densité

II. Loi uniforme

III. Loi exponentielle