Lois à densité

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer si elle peut être la densité d'une variable aléatoire à densité sur l'intervalle indiqué (on prendra la fonction nulle en dehors de cet intervalle).

   1. $f(x) = 3x^2$ sur $[0\,;1]$.
   2. $g(x) = \dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;3]$.
   3. $h(x) = 2(1-x)$ sur $[0\,;1]$.
   Voir un indice

   Une fonction $\varphi$ est une densité de probabilité sur $[a\,;b]$ si elle est positive sur cet intervalle et si $\displaystyle\int_a^b \varphi(x)\,\mathrm{d}x = 1$.

   Voir la correction

   On vérifie deux conditions : la positivité et l'intégrale égale à $1$.

   1. Sur $[0\,;1]$, $f(x)=3x^2 \geq 0$. De plus

   $$\int_0^1 3x^2\,\mathrm{d}x = \left[x^3\right]_0^1 = 1.$$

   Donc $f$ est bien une densité de probabilité.

   2. Sur $[0\,;3]$, $g(x)=\tfrac12 \geq 0$, mais

   $$\int_0^3 \frac{1}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2} \neq 1.$$

   Donc $g$ n'est pas une densité de probabilité (la densité uniforme sur $[0\,;3]$ serait $\tfrac13$).

   3. Sur $[0\,;1]$, $1-x \geq 0$ donc $h(x)=2(1-x)\geq 0$. De plus

   $$\int_0^1 2(1-x)\,\mathrm{d}x = 2\left[x-\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2\left(1-\frac12\right) = 1.$$

   Donc $h$ est bien une densité de probabilité.

2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Un usager arrive à un arrêt de bus au hasard. Le temps d'attente $X$ (en minutes) avant le prochain bus suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0\,;30]$.

   1. Rappeler l'expression de la densité de $X$.
   2. Calculer $P(X < 10)$, $P(X > 20)$ et $P(5 < X < 15)$.
   3. Calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$. Interpréter $E(X)$.
   Voir un indice

   Pour la loi uniforme sur $[a\,;b]$ : densité constante $\dfrac{1}{b-a}$, $P(c<X<d)=\dfrac{d-c}{b-a}$, $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$ et $V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$.

   Voir la correction

   Ici $a=0$ et $b=30$, donc $b-a=30$.

   1. La densité est $f(x)=\dfrac{1}{30}$ pour $x\in[0\,;30]$, et $f(x)=0$ ailleurs.

   2. Les probabilités se calculent comme des rapports de longueurs :

   $$P(X<10)=\frac{10-0}{30}=\frac{1}{3},\qquad P(X>20)=\frac{30-20}{30}=\frac{1}{3},$$ $$P(5<X<15)=\frac{15-5}{30}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}.$$

   3. On a

   $$E(X)=\frac{0+30}{2}=15,\qquad V(X)=\frac{(30-0)^2}{12}=\frac{900}{12}=75.$$

   En moyenne, l'usager attend $15$ minutes.

3. 3

   Exercice 3

   Facile

   Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f(x)=\dfrac{x}{2}$ sur $[0\,;2]$, et $f(x)=0$ ailleurs.

   1. Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité.
   2. Déterminer la fonction de répartition $F$ définie par $F(x)=P(X\leq x)$ pour $x\in[0\,;2]$.
   3. En déduire $P(X\leq 1)$ et $P(1 \leq X \leq 1{,}5)$.
   4. Calculer l'espérance $E(X)$.
   Voir un indice

   La fonction de répartition s'obtient par $F(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$. On a $P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)$ et $E(X)=\displaystyle\int_0^2 x\,f(x)\,\mathrm{d}x$.

   Voir la correction

   1. Sur $[0\,;2]$, $f(x)=\tfrac{x}{2}\geq 0$ et

   $$\int_0^2 \frac{x}{2}\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{4}\right]_0^2 = \frac{4}{4}=1.$$

   Donc $f$ est bien une densité.

   2. Pour $x\in[0\,;2]$ :

   $$F(x)=\int_0^x \frac{t}{2}\,\mathrm{d}t = \left[\frac{t^2}{4}\right]_0^x = \frac{x^2}{4}.$$

   3. On obtient

   $$P(X\leq 1)=F(1)=\frac{1}{4}.$$ $$P(1\leq X\leq 1{,}5)=F(1{,}5)-F(1)=\frac{1{,}5^2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2{,}25-1}{4}=\frac{1{,}25}{4}=0{,}3125.$$

   4.

   $$E(X)=\int_0^2 x\cdot\frac{x}{2}\,\mathrm{d}x = \int_0^2 \frac{x^2}{2}\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{6}\right]_0^2 = \frac{8}{6}=\frac{4}{3}\approx 1{,}33.$$
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$.

   1. Rappeler l'expression de la densité et de la fonction de répartition de $X$.
   2. Calculer $P(X\leq 2)$, puis $P(X > 3)$.
   3. Calculer $P(1 < X < 4)$.
   4. Donner l'espérance $E(X)$.

   Arrondir les valeurs numériques à $10^{-3}$.

   Voir un indice

   Pour la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ : densité $\lambda e^{-\lambda x}$ sur $[0\,;+\infty[$, fonction de répartition $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ pour $x\geq 0$, et $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$. On a $P(X>x)=e^{-\lambda x}$.

   Voir la correction

   Ici $\lambda=0{,}5$.

   1. La densité est $f(x)=0{,}5\,e^{-0{,}5x}$ pour $x\geq 0$ (nulle sinon), et $F(x)=1-e^{-0{,}5x}$ pour $x\geq 0$.

   2.

   $$P(X\leq 2)=1-e^{-0{,}5\times 2}=1-e^{-1}\approx 0{,}632.$$ $$P(X>3)=e^{-0{,}5\times 3}=e^{-1{,}5}\approx 0{,}223.$$

   3.

   $$P(1<X<4)=F(4)-F(1)=(1-e^{-2})-(1-e^{-0{,}5})=e^{-0{,}5}-e^{-2}\approx 0{,}607-0{,}135=0{,}472.$$

   4.

   $$E(X)=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0{,}5}=2.$$
5. 5

   Durée de vie et loi exponentielle

   Moyen

   La durée de vie $X$ (en années) d'un composant électronique est modélisée par une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$. On sait que la durée de vie moyenne d'un tel composant est de $5$ ans.

   1. Déterminer la valeur de $\lambda$.
   2. Retrouver, par un calcul d'intégrale utilisant une intégration par parties, que $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$.
   3. Calculer la probabilité que le composant fonctionne encore après $8$ ans. Arrondir à $10^{-3}$.
   4. Un composant est garanti $2$ ans. Quelle est la probabilité qu'il tombe en panne pendant la période de garantie ?
   Voir un indice

   La durée de vie moyenne est l'espérance $E(X)=\dfrac1\lambda$. Pour l'intégration par parties, poser $u(x)=x$ et $v'(x)=\lambda e^{-\lambda x}$. On admettra que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x\,e^{-\lambda x}=0$.

   Voir la correction

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6. 6

   Décroissance radioactive et demi-vie

   Moyen

   L'iode 131 est un isotope radioactif de demi-vie $T=8$ jours : c'est la durée au bout de laquelle il reste, en moyenne, la moitié des noyaux. On modélise la durée de vie $X$ (en jours) d'un noyau par une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$. La proportion de noyaux encore présents à l'instant $t$ est $P(X>t)$.

   1. Traduire la demi-vie par une équation, puis en déduire que $\lambda = \dfrac{\ln 2}{8}$.
   2. Calculer la probabilité qu'un noyau soit encore présent après $24$ jours.
   3. Au bout de combien de jours reste-t-il $10\,\%$ des noyaux initiaux ? Arrondir à l'unité.
   Voir un indice

   La demi-vie vérifie $P(X>T)=\dfrac12$. Rappel : $P(X>t)=e^{-\lambda t}$. Pour la question 3, résoudre $e^{-\lambda t}=0{,}1$ à l'aide du logarithme népérien.

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7. 7

   Intervalles entre appels téléphoniques

   Moyen

   Dans un standard téléphonique, le temps $X$ (en minutes) séparant deux appels successifs suit une loi exponentielle. On observe qu'en moyenne un appel arrive toutes les $4$ minutes.

   1. Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi.
   2. Calculer la probabilité qu'aucun appel n'arrive pendant les $5$ premières minutes.
   3. Calculer la probabilité que le prochain appel arrive dans un délai compris entre $2$ et $6$ minutes.
   4. Sachant qu'aucun appel n'est arrivé pendant $3$ minutes, quelle est la probabilité d'attendre encore au moins $4$ minutes ? Comparer avec $P(X\geq 4)$.

   Arrondir à $10^{-3}$.

   Voir un indice

   Le temps moyen entre deux appels est $E(X)=\dfrac1\lambda$. Pour la question 4, utiliser la définition de la probabilité conditionnelle, ou anticiper la propriété d'absence de mémoire.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   Absence de mémoire de la loi exponentielle.

   Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$. Le but est de démontrer que, pour tous réels $s\geq 0$ et $t\geq 0$,

   $$P_{X>s}(X>s+t)=P(X>t).$$

   1. Justifier que pour tout réel $a\geq 0$, on a $P(X>a)=e^{-\lambda a}$.
   2. Démontrer la formule d'absence de mémoire ci-dessus.
   3. Interpréter ce résultat pour la durée de vie d'un composant « sans usure ».
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   Simulation d'une loi exponentielle à partir de la loi uniforme.

   On dispose d'un générateur fournissant une variable aléatoire $U$ suivant la loi uniforme sur $[0\,;1]$. On souhaite en fabriquer une variable $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$. On pose

   $$X=-\frac{1}{\lambda}\ln(U).$$

   1. Justifier que $X$ prend ses valeurs dans $[0\,;+\infty[$.
   2. Pour $x\geq 0$, calculer $P(X\leq x)$ en se ramenant à une inégalité portant sur $U$. On pourra utiliser que $U$ et $1-U$ suivent la même loi uniforme sur $[0\,;1]$.
   3. En déduire que $X$ suit bien la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
   4. Application : pour $\lambda = 0{,}5$, le générateur renvoie $U=0{,}25$. Quelle valeur de $X$ obtient-on ? Arrondir à $10^{-2}$.
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