Ascension Maths

I. L'intégrale comme aire

Beaucoup de grandeurs se lisent comme des aires : la distance parcourue sous une courbe de vitesse, l'énergie consommée sous une courbe de puissance, la quantité totale produite sous une courbe de débit. L'intégrale est l'outil qui les calcule.

DéfinitionIntégrale d'une fonction positive

Pour une fonction $f$ continue et positive sur $[a\,;b]$ , l'intégrale

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

est l'aire, en unités d'aire, de la surface comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ .

ThéorèmeCalcul par une primitive

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;b]$ , alors

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a)

Cette différence se note $\big[F(x)\big]_a^b$ . Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie.

Exemple

\int_1^3 \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \big[\ln x\big]_1^3 = \ln 3-\ln 1 = \ln 3 \approx 1{,}10

PropriétéPropriétés

Pour des fonctions continues et des réels $\lambda$ et $\mu$ :

\int_a^b \big(\lambda f(x)+\mu g(x)\big)\,\mathrm{d}x=\lambda\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\mu\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x

Si $f$ est positive sur $[a\,;b]$ avec $a \leqslant b$ , son intégrale est positive. Si $f \leqslant g$ , alors l'intégrale de $f$ est inférieure à celle de $g$ .

Remarque

Pour une fonction de signe quelconque, l'intégrale se calcule encore par $F(b)-F(a)$ , mais elle s'interprète comme une aire algébrique : les portions situées sous l'axe comptent négativement.

II. Valeur moyenne

DéfinitionValeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction continue $f$ sur $[a\,;b]$ , avec $a<b$ , est le nombre

\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

C'est la hauteur du rectangle de base $[a\,;b]$ ayant la même aire que la surface sous la courbe.

PropriétéEncadrement

Si $m \leqslant f(x) \leqslant M$ sur $[a\,;b]$ , alors la valeur moyenne de $f$ est comprise entre $m$ et $M$ .

Ce résultat fournit un contrôle immédiat : une valeur moyenne sortant de l'intervalle des valeurs prises signale une erreur de calcul.

Exemple

La température d'une journée est modélisée sur $[0\,;24]$ par $T(t)=15+8\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$ .

Sa valeur moyenne sur la journée vaut $15$ degrés, car l'aire au-dessus de cette valeur compense exactement celle en dessous sur une période complète.

III. Approximation par des rectangles

Toutes les fonctions n'ont pas de primitive exprimable simplement. L'aire s'estime alors en découpant l'intervalle et en remplaçant chaque morceau par un rectangle.

MéthodeMéthode des rectangles

L'intervalle $[a\,;b]$ est partagé en $n$ morceaux de même longueur $\dfrac{b-a}{n}$ . Sur chacun, la fonction est remplacée par sa valeur à l'une des extrémités.

Pour une fonction croissante, prendre la valeur de gauche minore l'aire, celle de droite la majore. Les deux calculs fournissent donc un encadrement de l'intégrale, d'autant plus fin que $n$ est grand.

Exemple

def rectangles_gauche(f, a, b, n):
    pas = (b - a) / n
    somme = 0
    for i in range(n):
        somme = somme + f(a + i * pas) * pas
    return somme

def rectangles_droite(f, a, b, n):
    pas = (b - a) / n
    somme = 0
    for i in range(1, n + 1):
        somme = somme + f(a + i * pas) * pas
    return somme

Pour une fonction croissante, les deux résultats encadrent l'intégrale cherchée.

ExempleUne aire entre deux courbes

Si $f(x) \geqslant g(x)$ sur $[a\,;b]$ , l'aire comprise entre les deux courbes vaut

\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x

La première étape consiste donc à déterminer laquelle des deux courbes est au-dessus, en étudiant le signe de la différence.

Intégration

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. L'intégrale comme aire

II. Valeur moyenne

III. Approximation par des rectangles