Intégration

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Calculer à l'aide de primitives les intégrales suivantes.

   $$a)\ \int_1^4 (2x+3)\,dx \qquad b)\ \int_0^1 e^{x}\,dx \qquad c)\ \int_1^{e} \dfrac{1}{x}\,dx \qquad d)\ \int_{-1}^{2} x^3\,dx$$
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   Pour chaque intégrale, cherche une primitive $F$ de la fonction puis calcule $F(b)-F(a)$. Rappelle-toi qu'une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$ et qu'une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$.

   Voir la correction

   a) Une primitive de $x\mapsto 2x+3$ est $x\mapsto x^2+3x$. Donc

   $$\int_1^4 (2x+3)\,dx = \left[\,x^2+3x\,\right]_1^4 = (16+12)-(1+3) = 28-4 = 24.$$

   b) Une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$, donc

   $$\int_0^1 e^{x}\,dx = \left[\,e^{x}\,\right]_0^1 = e^{1}-e^{0} = e-1.$$

   c) Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$ est $\ln x$, donc

   $$\int_1^{e} \dfrac{1}{x}\,dx = \left[\,\ln x\,\right]_1^{e} = \ln e-\ln 1 = 1-0 = 1.$$

   d) Une primitive de $x^3$ est $\dfrac{x^4}{4}$, donc

   $$\int_{-1}^{2} x^3\,dx = \left[\,\dfrac{x^4}{4}\,\right]_{-1}^{2} = \dfrac{16}{4}-\dfrac{1}{4} = 4-\dfrac{1}{4} = \dfrac{15}{4}.$$
2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Soit $f$ une fonction continue sur $[0;6]$ telle que

   $$\int_0^2 f(x)\,dx = 4 \qquad \text{et} \qquad \int_2^6 f(x)\,dx = -1.$$

   En utilisant la relation de Chasles et la linéarité de l'intégrale, calculer :

   $$a)\ \int_0^6 f(x)\,dx \qquad b)\ \int_6^2 f(x)\,dx \qquad c)\ \int_0^2 3f(x)\,dx \qquad d)\ \int_0^6 \big(2f(x)+1\big)\,dx.$$
   Voir un indice

   La relation de Chasles donne $\int_0^6 f = \int_0^2 f + \int_2^6 f$. Échanger les bornes change le signe. L'intégrale d'une constante $k$ sur $[a;b]$ vaut $k(b-a)$.

   Voir la correction

   a) Par la relation de Chasles :

   $$\int_0^6 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^6 f(x)\,dx = 4+(-1) = 3.$$

   b) En échangeant les bornes :

   $$\int_6^2 f(x)\,dx = -\int_2^6 f(x)\,dx = -(-1) = 1.$$

   c) Par linéarité :

   $$\int_0^2 3f(x)\,dx = 3\int_0^2 f(x)\,dx = 3\times 4 = 12.$$

   d) Par linéarité, et comme $\displaystyle\int_0^6 1\,dx = 6-0 = 6$ :

   $$\int_0^6 \big(2f(x)+1\big)\,dx = 2\int_0^6 f(x)\,dx + \int_0^6 1\,dx = 2\times 3 + 6 = 12.$$
3. 3

   Exercice 3

   Facile

   On considère la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par $f(x)=x^2-2x+2$.

   1. Calculer $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx$.
   2. En déduire la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle $[0;3]$.
   3. Vérifier que cette valeur moyenne est bien comprise entre le minimum et le maximum de $f$ sur $[0;3]$.
   Voir un indice

   La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est $m=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$. Pour la question 3, étudie les variations de $f$ (parabole de sommet en $x=1$).

   Voir la correction

   1. Une primitive de $f$ est $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+2x$. Donc

   $$\int_0^3 f(x)\,dx = \left[\,\dfrac{x^3}{3}-x^2+2x\,\right]_0^3 = \left(\dfrac{27}{3}-9+6\right)-0 = (9-9+6) = 6.$$

   2. La valeur moyenne sur $[0;3]$ est

   $$m = \dfrac{1}{3-0}\int_0^3 f(x)\,dx = \dfrac{6}{3} = 2.$$

   3. $f$ est une parabole tournée vers le haut, de sommet en $x=1$, où $f(1)=1-2+2=1$ (minimum). Aux bornes, $f(0)=2$ et $f(3)=9-6+2=5$ (maximum). Ainsi $f$ prend ses valeurs dans $[1;5]$, et l'on a bien $1 \le m=2 \le 5$.
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   Pour tout réel $x\ge 0$, on pose $\displaystyle F(x)=\int_0^x (t^2+1)\,dt$.

   1. Justifier que $F$ est dérivable et déterminer $F'(x)$. En déduire le sens de variation de $F$.
   2. Donner la valeur de $F(0)$.
   3. Déterminer une expression explicite de $F(x)$ en fonction de $x$, puis calculer $F(3)$.
   Voir un indice

   La fonction $t\mapsto t^2+1$ est continue : d'après le théorème fondamental, $F(x)=\int_0^x g(t)\,dt$ est dérivable et $F'(x)=g(x)$. Pour l'expression explicite, cherche une primitive de $t^2+1$.

   Voir la correction

   1. La fonction $g:t\mapsto t^2+1$ est continue sur $[0;+\infty[$. D'après le théorème fondamental de l'analyse, $F$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et

   $$F'(x)=g(x)=x^2+1.$$

   Comme $x^2+1>0$ pour tout $x$, $F'(x)>0$ : $F$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

   2. $\displaystyle F(0)=\int_0^0 (t^2+1)\,dt = 0$.

   3. Une primitive de $t\mapsto t^2+1$ est $t\mapsto \dfrac{t^3}{3}+t$. Donc

   $$F(x)=\left[\,\dfrac{t^3}{3}+t\,\right]_0^x = \dfrac{x^3}{3}+x.$$

   En particulier $F(3)=\dfrac{27}{3}+3 = 9+3 = 12$.

5. 5

   Distance parcourue et vitesse moyenne

   Moyen

   Un point mobile se déplace sur une droite. Sa vitesse (en mètres par seconde) à l'instant $t$ (en secondes) est donnée, pour $t\in[0;4]$, par

   $$v(t)=3t^2.$$

   1. La distance parcourue entre les instants $t=0$ et $t=4$ est égale à $\displaystyle\int_0^4 v(t)\,dt$. Calculer cette distance.
   2. Déterminer la vitesse moyenne du mobile sur l'intervalle de temps $[0;4]$.
   3. Interpréter concrètement ce résultat.
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   La distance est l'intégrale de la vitesse. La vitesse moyenne est la valeur moyenne de $v$ sur $[0;4]$, soit $\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_0^4 v(t)\,dt$.

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6. 6

   Aire entre deux courbes

   Moyen

   Dans un repère orthonormé, on considère les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ représentant les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par

   $$f(x)=x^2 \qquad \text{et} \qquad g(x)=2x.$$

   1. Déterminer les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
   2. Sur l'intervalle délimité par ces abscisses, préciser laquelle des deux courbes est au-dessus de l'autre.
   3. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre les deux courbes.
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   Les abscisses d'intersection vérifient $f(x)=g(x)$. L'aire entre deux courbes sur $[a;b]$, lorsque $g\ge f$, vaut $\displaystyle\int_a^b \big(g(x)-f(x)\big)\,dx$.

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7. 7

   Nombre moyen d'objets fabriqués

   Moyen

   Dans un atelier, le nombre d'objets fabriqués par heure est modélisé, pour une durée de travail de $6$ heures, par la fonction

   $$f(t)=100+20t-t^2, \qquad t\in[0;6],$$

   où $t$ est le temps écoulé (en heures) depuis le début de la journée.

   1. Calculer $\displaystyle\int_0^6 f(t)\,dt$ et interpréter ce nombre.
   2. En déduire le nombre moyen d'objets fabriqués par heure sur la journée.
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   $f(t)$ est une cadence de production (objets par heure). L'intégrale de la cadence sur $[0;6]$ donne la production totale ; la valeur moyenne donne la cadence moyenne.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On souhaite approcher $\displaystyle I=\int_0^1 x^2\,dx$ par la méthode des rectangles.

   1. On découpe $[0;1]$ en $4$ intervalles de même longueur. En utilisant que $x\mapsto x^2$ est croissante sur $[0;1]$, calculer la somme des aires des rectangles « en dessous » de la courbe, puis celle des rectangles « au-dessus », et en déduire un encadrement de $I$.
   2. On admet que, pour tout entier $n\ge 1$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Montrer que la somme de Riemann $\displaystyle S_n=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^2$ tend vers $\dfrac{1}{3}$ quand $n\to+\infty$.
   3. Comparer avec la valeur exacte de $I$.
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9. 9

   Méthode de Monte-Carlo

   Difficile

   On veut estimer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine situé sous la courbe de $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ sur $[0;1]$. Ce domaine est un quart de disque de rayon $1$ inscrit dans le carré $[0;1]\times[0;1]$.

   On tire au hasard $N=1000$ points, de façon uniforme, dans ce carré. On observe que $786$ d'entre eux se trouvent sous la courbe.

   1. Expliquer pourquoi la proportion de points tombant sous la courbe fournit une estimation de l'aire $\mathcal{A}$.
   2. Donner une estimation de $\mathcal{A}$ à partir de l'expérience.
   3. Sachant que $\mathcal{A}=\dfrac{\pi}{4}$ (aire d'un quart de disque de rayon $1$), en déduire une valeur approchée de $\pi$.
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