Chapitres de Maths complémentaires

Intégration

1
Exercice 1
Facile
Calculer à l'aide de primitives les intégrales suivantes.
$a)\ \int_1^4 (2x+3)\,dx \qquad b)\ \int_0^1 e^{x}\,dx \qquad c)\ \int_1^{e} \dfrac{1}{x}\,dx \qquad d)\ \int_{-1}^{2} x^3\,dx$
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Pour chaque intégrale, cherche une primitive $F$ de la fonction puis calcule $F(b)-F(a)$ . Rappelle-toi qu'une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$ et qu'une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$ .
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a) Une primitive de $x\mapsto 2x+3$ est $x\mapsto x^2+3x$ . Donc
$\int_1^4 (2x+3)\,dx = \left[\,x^2+3x\,\right]_1^4 = (16+12)-(1+3) = 28-4 = 24.$
b) Une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$ , donc
$\int_0^1 e^{x}\,dx = \left[\,e^{x}\,\right]_0^1 = e^{1}-e^{0} = e-1.$
c) Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$ est $\ln x$ , donc
$\int_1^{e} \dfrac{1}{x}\,dx = \left[\,\ln x\,\right]_1^{e} = \ln e-\ln 1 = 1-0 = 1.$
d) Une primitive de $x^3$ est $\dfrac{x^4}{4}$ , donc
$\int_{-1}^{2} x^3\,dx = \left[\,\dfrac{x^4}{4}\,\right]_{-1}^{2} = \dfrac{16}{4}-\dfrac{1}{4} = 4-\dfrac{1}{4} = \dfrac{15}{4}.$
2
Exercice 2
Facile
Soit $f$ une fonction continue sur $[0;6]$ telle que
$\int_0^2 f(x)\,dx = 4 \qquad \text{et} \qquad \int_2^6 f(x)\,dx = -1.$
En utilisant la relation de Chasles et la linéarité de l'intégrale, calculer :
$a)\ \int_0^6 f(x)\,dx \qquad b)\ \int_6^2 f(x)\,dx \qquad c)\ \int_0^2 3f(x)\,dx \qquad d)\ \int_0^6 \big(2f(x)+1\big)\,dx.$
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La relation de Chasles donne $\int_0^6 f = \int_0^2 f + \int_2^6 f$ . Échanger les bornes change le signe. L'intégrale d'une constante $k$ sur $[a;b]$ vaut $k(b-a)$ .
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a) Par la relation de Chasles :
$\int_0^6 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^6 f(x)\,dx = 4+(-1) = 3.$
b) En échangeant les bornes :
$\int_6^2 f(x)\,dx = -\int_2^6 f(x)\,dx = -(-1) = 1.$
c) Par linéarité :
$\int_0^2 3f(x)\,dx = 3\int_0^2 f(x)\,dx = 3\times 4 = 12.$
d) Par linéarité, et comme $\displaystyle\int_0^6 1\,dx = 6-0 = 6$ :
$\int_0^6 \big(2f(x)+1\big)\,dx = 2\int_0^6 f(x)\,dx + \int_0^6 1\,dx = 2\times 3 + 6 = 12.$
3
Exercice 3
Facile
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par $f(x)=x^2-2x+2$ .
1. Calculer $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx$ .
2. En déduire la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle $[0;3]$ .
3. Vérifier que cette valeur moyenne est bien comprise entre le minimum et le maximum de $f$ sur $[0;3]$ .
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La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est $m=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ . Pour la question 3, étudie les variations de $f$ (parabole de sommet en $x=1$ ).
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1. Une primitive de $f$ est $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+2x$ . Donc
$\int_0^3 f(x)\,dx = \left[\,\dfrac{x^3}{3}-x^2+2x\,\right]_0^3 = \left(\dfrac{27}{3}-9+6\right)-0 = (9-9+6) = 6.$
1. La valeur moyenne sur $[0;3]$ est
$m = \dfrac{1}{3-0}\int_0^3 f(x)\,dx = \dfrac{6}{3} = 2.$
1. $f$ est une parabole tournée vers le haut, de sommet en $x=1$ , où $f(1)=1-2+2=1$ (minimum). Aux bornes, $f(0)=2$ et $f(3)=9-6+2=5$ (maximum). Ainsi $f$ prend ses valeurs dans $[1;5]$ , et l'on a bien $1 \le m=2 \le 5$ .
4
Exercice 4
Facile
Pour tout réel $x\ge 0$ , on pose $\displaystyle F(x)=\int_0^x (t^2+1)\,dt$ .
1. Justifier que $F$ est dérivable et déterminer $F'(x)$ . En déduire le sens de variation de $F$ .
2. Donner la valeur de $F(0)$ .
3. Déterminer une expression explicite de $F(x)$ en fonction de $x$ , puis calculer $F(3)$ .
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La fonction $t\mapsto t^2+1$ est continue : d'après le théorème fondamental, $F(x)=\int_0^x g(t)\,dt$ est dérivable et $F'(x)=g(x)$ . Pour l'expression explicite, cherche une primitive de $t^2+1$ .
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1. La fonction $g:t\mapsto t^2+1$ est continue sur $[0;+\infty[$ . D'après le théorème fondamental de l'analyse, $F$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et
$F'(x)=g(x)=x^2+1.$
Comme $x^2+1>0$ pour tout $x$ , $F'(x)>0$ : $F$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ .
1. $\displaystyle F(0)=\int_0^0 (t^2+1)\,dt = 0$ .
2. Une primitive de $t\mapsto t^2+1$ est $t\mapsto \dfrac{t^3}{3}+t$ . Donc
$F(x)=\left[\,\dfrac{t^3}{3}+t\,\right]_0^x = \dfrac{x^3}{3}+x.$
En particulier $F(3)=\dfrac{27}{3}+3 = 9+3 = 12$ .
5
Distance parcourue et vitesse moyenne
Moyen
Un point mobile se déplace sur une droite. Sa vitesse (en mètres par seconde) à l'instant $t$ (en secondes) est donnée, pour $t\in[0;4]$ , par
$v(t)=3t^2.$
1. La distance parcourue entre les instants $t=0$ et $t=4$ est égale à $\displaystyle\int_0^4 v(t)\,dt$ . Calculer cette distance.
2. Déterminer la vitesse moyenne du mobile sur l'intervalle de temps $[0;4]$ .
3. Interpréter concrètement ce résultat.
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La distance est l'intégrale de la vitesse. La vitesse moyenne est la valeur moyenne de $v$ sur $[0;4]$ , soit $\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_0^4 v(t)\,dt$ .
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6
Aire entre deux courbes
Moyen
Dans un repère orthonormé, on considère les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ représentant les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par
$f(x)=x^2 \qquad \text{et} \qquad g(x)=2x.$
1. Déterminer les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ .
2. Sur l'intervalle délimité par ces abscisses, préciser laquelle des deux courbes est au-dessus de l'autre.
3. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre les deux courbes.
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Les abscisses d'intersection vérifient $f(x)=g(x)$ . L'aire entre deux courbes sur $[a;b]$ , lorsque $g\ge f$ , vaut $\displaystyle\int_a^b \big(g(x)-f(x)\big)\,dx$ .
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7
Nombre moyen d'objets fabriqués
Moyen
Dans un atelier, le nombre d'objets fabriqués par heure est modélisé, pour une durée de travail de $6$ heures, par la fonction
$f(t)=100+20t-t^2, \qquad t\in[0;6],$
où $t$ est le temps écoulé (en heures) depuis le début de la journée.
1. Calculer $\displaystyle\int_0^6 f(t)\,dt$ et interpréter ce nombre.
2. En déduire le nombre moyen d'objets fabriqués par heure sur la journée.
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$f(t)$ est une cadence de production (objets par heure). L'intégrale de la cadence sur $[0;6]$ donne la production totale ; la valeur moyenne donne la cadence moyenne.
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8
Exercice 8
Difficile
On souhaite approcher $\displaystyle I=\int_0^1 x^2\,dx$ par la méthode des rectangles.
1. On découpe $[0;1]$ en $4$ intervalles de même longueur. En utilisant que $x\mapsto x^2$ est croissante sur $[0;1]$ , calculer la somme des aires des rectangles « en dessous » de la courbe, puis celle des rectangles « au-dessus », et en déduire un encadrement de $I$ .
2. On admet que, pour tout entier $n\ge 1$ , $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Montrer que la somme de Riemann $\displaystyle S_n=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^2$ tend vers $\dfrac{1}{3}$ quand $n\to+\infty$ .
3. Comparer avec la valeur exacte de $I$ .
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9
Méthode de Monte-Carlo
Difficile
On veut estimer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine situé sous la courbe de $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ sur $[0;1]$ . Ce domaine est un quart de disque de rayon $1$ inscrit dans le carré $[0;1]\times[0;1]$ .

On tire au hasard $N=1000$ points, de façon uniforme, dans ce carré. On observe que $786$ d'entre eux se trouvent sous la courbe.
1. Expliquer pourquoi la proportion de points tombant sous la courbe fournit une estimation de l'aire $\mathcal{A}$ .
2. Donner une estimation de $\mathcal{A}$ à partir de l'expérience.
3. Sachant que $\mathcal{A}=\dfrac{\pi}{4}$ (aire d'un quart de disque de rayon $1$ ), en déduire une valeur approchée de $\pi$ .
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Intégration

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Distance parcourue et vitesse moyenne

Aire entre deux courbes

Nombre moyen d'objets fabriqués

Exercice 8

Méthode de Monte-Carlo