Ascension Maths
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Cours de Maths complémentaires

Fonctions convexes

Dérivée seconde, convexité et concavité, points d'inflexion, et la lecture de ces notions sur un graphique ou dans un modèle économique.

Avant de commencer

  • •Calculer une dérivée et étudier son signe.
  • •Lire un tableau de variations.

À la fin du chapitre, tu sais

  • •Calculer une dérivée seconde.
  • •Déterminer les intervalles de convexité et de concavité.
  • •Repérer un point d'inflexion.
  • •Interpréter la convexité dans un contexte concret.
Sommaire

I. Dérivée seconde

Le sens de variation d'une fonction dit si une grandeur augmente ou diminue. La convexité ajoute une information de nature différente : elle dit si cette augmentation s'accélère ou ralentit, ce qui change souvent la conclusion d'une analyse.

DéfinitionDérivée seconde

Lorsque la fonction dérivée f′f' est elle-même dérivable, sa dérivée s'appelle la dérivée seconde de ff et se note f′′f''.

Exemple

Pour la fonction définie par f(x)=x3−6x2+5f(x)=x^3-6x^2+5 :

f′(x)=3x2−12xf′′(x)=6x−12f'(x)=3x^2-12x \qquad f''(x)=6x-12

II. Convexité et concavité

DéfinitionFonction convexe, fonction concave

Une fonction est convexe sur un intervalle lorsque sa courbe y est située en dessous de chacune de ses sécantes. Elle est concave lorsque sa courbe est au-dessus de ses sécantes.

Pour une fonction dérivable, la convexité équivaut au fait que la courbe soit au-dessus de chacune de ses tangentes.

ThéorèmeCaractérisations

Pour une fonction ff deux fois dérivable sur un intervalle II, les propositions suivantes sont équivalentes :

la fonction ff est convexe sur II ;

la fonction dérivée f′f' est croissante sur II ;

la dérivée seconde f′′f'' est positive sur II.

La concavité correspond aux propriétés symétriques, avec une dérivée seconde négative.

MéthodeÉtudier la convexité

La démarche tient en trois lignes : calculer f′′f'', étudier son signe, puis conclure sur les intervalles de convexité et de concavité.

Le tableau de signes de la dérivée seconde tient lieu de justification, exactement comme celui de la dérivée première pour les variations.

Exemple

Reprenons la fonction définie par f(x)=x3−6x2+5f(x)=x^3-6x^2+5, de dérivée seconde f′′(x)=6x−12f''(x)=6x-12.

Cette dérivée seconde est négative sur ]−∞ ;2]]-\infty\,;2] et positive sur [2 ;+∞[[2\,;+\infty[ : la fonction est concave puis convexe.

Remarque

La fonction exponentielle est convexe sur R\mathbb{R}, puisqu'elle est sa propre dérivée seconde et qu'elle est strictement positive. La fonction logarithme, de dérivée seconde −1x2-\dfrac{1}{x^2}, est concave sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.

III. Points d'inflexion

DéfinitionPoint d'inflexion

Un point d'inflexion est un point de la courbe où la fonction change de convexité. La tangente y traverse la courbe.

PropriétéCaractérisation

La courbe d'une fonction deux fois dérivable admet un point d'inflexion au point d'abscisse aa si et seulement si la dérivée seconde s'annule en aa en changeant de signe.

Attention

L'annulation seule ne suffit pas. Pour la fonction définie par f(x)=x4f(x)=x^4, la dérivée seconde 12x212x^2 s'annule en 00 sans changer de signe : la courbe reste convexe et n'a pas de point d'inflexion.

IV. Lire la convexité dans un modèle

En économie, en biologie ou en épidémiologie, la convexité porte une information qui fait souvent la conclusion de l'exercice.

ExempleCoût de production

Si C(q)C(q) est le coût de production de qq unités, la dérivée C′(q)C'(q) est le coût marginal.

Une fonction coût convexe signifie que le coût marginal augmente : chaque unité supplémentaire coûte plus cher que la précédente. Une fonction coût concave traduit au contraire des économies d'échelle.

ExempleÉpidémie

Si N(t)N(t) désigne le nombre cumulé de cas, la dérivée N′(t)N'(t) est le nombre de nouveaux cas par jour.

Tant que NN est convexe, l'épidémie accélère. Le point d'inflexion marque le jour où le nombre quotidien de nouveaux cas cesse d'augmenter : la propagation continue, mais elle ralentit. C'est ce point, et non le maximum, qui est annoncé comme un tournant.

MéthodeLire sur un graphique

Sur la courbe de ff, la convexité se voit à la forme creusée vers le haut.

Sur la courbe de f′f', elle correspond aux intervalles où cette dérivée est croissante.

Sur la courbe de f′′f'', elle correspond aux intervalles où cette dérivée seconde est positive.

Un exercice fournit l'une des trois courbes : identifier laquelle est représentée est toujours la première question à se poser.

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