Chapitres de Maths complémentaires

Fonctions convexes

1
Exercice 1
Facile
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ .
1. Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$ .
2. Étudier le signe de $f''$ et en déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe, ceux sur lesquels $f$ est concave.
3. Justifier que la courbe de $f$ admet un point d'inflexion dont on précisera les coordonnées.
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Une fonction deux fois dérivable est convexe là où $f'' \geq 0$ et concave là où $f'' \leq 0$ . Un point d'inflexion correspond à un endroit où $f''$ s'annule en changeant de signe.
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On dérive successivement : $f'(x) = 3x^2 - 6x$ puis $f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$ . Ainsi $f''(x) < 0$ pour $x < 1$ et $f''(x) > 0$ pour $x > 1$ . La fonction $f$ est donc concave sur $]-\infty\,;\,1]$ et convexe sur $[1\,;\,+\infty[$ . La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $x = 1$ : la courbe présente un point d'inflexion en ce point. Comme $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ , ce point d'inflexion a pour coordonnées $(1\,;\,0)$ .
2
Exercice 2
Facile
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4 - 6x^2$ . Étudier la convexité de $f$ et déterminer les éventuels points d'inflexion de sa courbe.
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Calculer $f''$ , la factoriser, puis dresser le tableau de signe. Attention : ici $f''$ est un polynôme du second degré.
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On a $f'(x) = 4x^3 - 12x$ puis $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 12(x-1)(x+1)$ . Le trinôme $x^2 - 1$ est positif à l'extérieur de ses racines $-1$ et $1$ , négatif entre elles. Donc $f''(x) \geq 0$ sur $]-\infty\,;\,-1]$ et sur $[1\,;\,+\infty[$ : $f$ y est convexe. Sur $[-1\,;\,1]$ on a $f''(x) \leq 0$ : $f$ y est concave. La dérivée seconde change de signe en $-1$ et en $1$ , d'où deux points d'inflexion. Comme $f(-1) = 1 - 6 = -5$ et $f(1) = 1 - 6 = -5$ , ces points sont $(-1\,;\,-5)$ et $(1\,;\,-5)$ .
3
Exercice 3
Facile
Une fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $[-3\,;\,4]$ et sa dérivée seconde est donnée par
$f''(x) = (x+2)(x-3).$
1. Dresser le tableau de signe de $f''$ sur $[-3\,;\,4]$ .
2. En déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$ .
3. Combien la courbe de $f$ admet-elle de points d'inflexion ? Préciser les abscisses.
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Il n'est pas nécessaire de connaître $f$ : seul le signe de $f''$ détermine la convexité. Le produit $(x+2)(x-3)$ change de signe en $-2$ et en $3$ .
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Le produit $(x+2)(x-3)$ s'annule en $-2$ et en $3$ . Il est positif à l'extérieur de ces racines et négatif entre elles. Sur $[-3\,;\,4]$ : $f''(x) > 0$ sur $[-3\,;\,-2[$ , $f''(x) < 0$ sur $]-2\,;\,3[$ , $f''(x) > 0$ sur $]3\,;\,4]$ . Donc $f$ est convexe sur $[-3\,;\,-2]$ , concave sur $[-2\,;\,3]$ et de nouveau convexe sur $[3\,;\,4]$ . La dérivée seconde change de signe en deux abscisses, $x = -2$ et $x = 3$ : la courbe possède donc deux points d'inflexion, d'abscisses $-2$ et $3$ .
4
Exercice 4
Facile
Soit $f$ la fonction inverse définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .
1. Calculer $f''(x)$ et étudier son signe sur $]-\infty\,;\,0[$ puis sur $]0\,;\,+\infty[$ .
2. Préciser sur quels intervalles $f$ est convexe, sur lesquels elle est concave.
3. La courbe de $f$ admet-elle un point d'inflexion en $x = 0$ ? Justifier.
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On rappelle que $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ . Pour la dernière question, se demander si $0$ appartient bien à l'ensemble de définition.
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On calcule $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ puis $f''(x) = \dfrac{2}{x^3}$ . Sur $]0\,;\,+\infty[$ , $x^3 > 0$ donc $f''(x) > 0$ : $f$ est convexe. Sur $]-\infty\,;\,0[$ , $x^3 < 0$ donc $f''(x) < 0$ : $f$ est concave. Bien que le signe de $f''$ change « de part et d'autre de $0$ », il n'y a pas de point d'inflexion en $0$ : la valeur $0$ n'appartient pas à l'ensemble de définition $\mathbb{R}^{*}$ , il n'existe donc aucun point de la courbe d'abscisse $0$ . Un point d'inflexion doit être un point de la courbe.
5
Courbe de Lorenz et convexité
Moyen
Dans une population, on classe les individus du plus pauvre au plus riche. Pour $x \in [0\,;\,1]$ , on note $L(x)$ la part du revenu total détenue par la fraction $x$ des individus les plus pauvres. La fonction $L$ obtenue s'appelle courbe de Lorenz. On modélise ici la situation par
$L(x) = x^2, \qquad x \in [0\,;\,1].$
1. Vérifier que $L(0) = 0$ et $L(1) = 1$ , et interpréter ces deux égalités.
2. Montrer que $L$ est croissante puis convexe sur $[0\,;\,1]$ .
3. La droite d'équation $y = x$ correspond à une répartition parfaitement égalitaire. Montrer que $L(x) \leq x$ pour tout $x \in [0\,;\,1]$ et interpréter.
4. Quelle part du revenu total est détenue par les $50\ \%$ les plus pauvres ?
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Croissance : étudier le signe de $L'$ sur $[0\,;\,1]$ . Convexité : signe de $L''$ . Pour la comparaison, factoriser $x - L(x)$ .
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6
Point d'inflexion d'un coût total
Moyen
Une entreprise produit une quantité $q$ (en centaines d'unités, $q \in [0\,;\,10]$ ) d'un bien. Son coût total de production, en milliers d'euros, est
$C(q) = q^3 - 6q^2 + 20q + 30.$
Le coût marginal est modélisé par la fonction dérivée $C_m = C'$ .
1. Déterminer $C_m(q)$ , puis $C''(q)$ .
2. Étudier la convexité de $C$ sur $[0\,;\,10]$ et déterminer l'abscisse du point d'inflexion.
3. Montrer que le coût marginal est minimal en cette valeur et calculer ce minimum.
4. Interpréter économiquement le point d'inflexion.
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Le coût marginal $C_m = C'$ décroît là où $C'' < 0$ et croît là où $C'' > 0$ . Son minimum est donc atteint là où $C''$ s'annule en changeant de signe.
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7
Productivité marginale d'un atelier
Moyen
La quantité produite par un atelier en fonction du nombre $x$ d'ouvriers ( $x \in [0\,;\,60]$ ) est modélisée par la fonction de production
$f(x) = 90x^2 - x^3.$
1. Montrer que $f$ est croissante sur $[0\,;\,60]$ .
2. Étudier la convexité de $f$ et déterminer l'abscisse du point d'inflexion.
3. La productivité marginale est $f'$ . Montrer qu'elle est maximale au point d'inflexion et calculer sa valeur.
4. Interpréter en termes de rendements croissants puis décroissants.
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Factoriser $f'(x)$ pour son signe. La productivité marginale $f'$ est maximale là où sa propre dérivée $f''$ s'annule en changeant de signe.
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8
Exercice 8
Difficile
On admet que si une fonction $f$ est convexe et dérivable sur un intervalle, sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes (et au-dessous si $f$ est concave). On étudie la fonction exponentielle.
1. Justifier que $f(x) = e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .
2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ .
3. En déduire l'inégalité de convexité : pour tout réel $x$ ,\quad $e^x \geq x + 1$ .
4. En posant $x = \ln t$ pour $t > 0$ , en déduire que $\ln t \leq t - 1$ pour tout $t > 0$ .
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9
Exercice 9
Difficile
Pour tout réel $m$ , on considère la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$f_m(x) = x^3 + m\,x^2 + x.$
1. Montrer que, quel que soit $m$ , la courbe de $f_m$ admet exactement un point d'inflexion, dont on notera $x_0$ l'abscisse. Exprimer $x_0$ en fonction de $m$ .
2. Calculer l'ordonnée $y_0$ de ce point d'inflexion en fonction de $x_0$ .
3. En déduire que, lorsque $m$ décrit $\mathbb{R}$ , tous les points d'inflexion des courbes $f_m$ appartiennent à une même courbe dont on donnera une équation de la forme $y = g(x)$ .
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Fonctions convexes

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Courbe de Lorenz et convexité

Point d'inflexion d'un coût total

Productivité marginale d'un atelier

Exercice 8

Exercice 9