Ascension Maths

I. Limites et asymptotes

Étudier une fonction sur un intervalle non borné, ou près d'une valeur interdite, demande de décrire ce qui se passe aux bords. C'est le rôle des limites, et leur traduction graphique est l'asymptote.

PropriétéLimites des fonctions de référence

fonction	en $0^+$	en $+\infty$
$x \mapsto x^2$	$0$	$+\infty$
$x \mapsto \sqrt{x}$	$0$	$+\infty$
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$	$+\infty$	$0$
$x \mapsto \text{e}^{x}$	$1$	$+\infty$
$x \mapsto \ln x$	$-\infty$	$+\infty$

En $-\infty$ , la fonction exponentielle tend vers $0$ et la fonction inverse également.

DéfinitionAsymptotes

Si la fonction $f$ a pour limite un réel $\ell$ en $+\infty$ , la droite d'équation $y=\ell$ est asymptote horizontale à sa courbe.

Si $f$ a une limite infinie en un réel $a$ , la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale.

Exemple

Pour la fonction définie sur $]2\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{3x}{x-2}$ , la limite en $+\infty$ vaut $3$ et la limite en $2$ par valeurs supérieures vaut $+\infty$ .

La courbe admet donc deux asymptotes, d'équations $y=3$ et $x=2$ .

PropriétéCroissances comparées

Pour tout entier naturel $n$ non nul :

\lim_{x \to +\infty}\frac{\text{e}^{x}}{x^n}=+\infty \qquad \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0

L'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et toute puissance l'emporte sur le logarithme.

II. Continuité et valeurs intermédiaires

DéfinitionContinuité

Une fonction est continue sur un intervalle lorsque sa courbe s'y trace sans lever le crayon, ce qui se traduit par l'égalité entre la limite en chaque point et la valeur en ce point.

Toute fonction dérivable est continue. Les fonctions polynômes, rationnelles, exponentielle, logarithme, ainsi que leurs composées, sont continues sur leur ensemble de définition.

ThéorèmeThéorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ , alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a\,;b]$ .

Si de plus $f$ est strictement monotone sur cet intervalle, cette solution est unique.

MéthodeRédiger l'application du théorème

Quatre points doivent apparaître : la continuité, la stricte monotonie lue sur le tableau de variations, l'encadrement de $k$ par les valeurs aux bornes, puis la conclusion sur l'existence et l'unicité.

La valeur approchée de la solution s'obtient ensuite à la calculatrice, par balayage ou dichotomie.

DéfinitionFonction réciproque

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle établit une correspondance sans ambiguïté entre cet intervalle et son image : chaque valeur atteinte l'est une seule fois. La fonction qui remonte de l'image vers l'antécédent s'appelle sa fonction réciproque.

Les courbes d'une fonction et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$ .

III. La fonction logarithme népérien

DéfinitionDéfinition

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $]0\,;+\infty[$ et vérifie, pour $x>0$ et $y$ réel :

\ln x = y \iff x = \text{e}^{y}

En particulier $\ln 1 = 0$ et $\ln \text{e} = 1$ .

PropriétéPropriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ , et tout entier $n$ :

\ln(ab)=\ln a+\ln b \qquad \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b \qquad \ln(a^n)=n\ln a

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ , de dérivée $\dfrac{1}{x}$ .

ExempleRésoudre un seuil

Cherchons à partir de quelle année un capital placé à $4\,\%$ aura doublé. La condition s'écrit $1{,}04^n \geqslant 2$ , donc

n\ln 1{,}04 \geqslant \ln 2 \qquad \text{soit} \qquad n \geqslant \frac{\ln 2}{\ln 1{,}04} \approx 17{,}7

Le capital aura doublé au bout de $18$ ans.

Attention

Le logarithme n'existe que pour les nombres strictement positifs. Toute résolution commence donc par la recherche des valeurs autorisées, et se termine par la vérification que les solutions trouvées les respectent.

IV. Dérivation des fonctions composées

PropriétéLes quatre formules du programme

fonction	dérivée	condition
$x \mapsto f(ax+b)$	$x \mapsto a\,f'(ax+b)$
$\text{e}^{u}$	$u'\,\text{e}^{u}$
$\ln u$	$\dfrac{u'}{u}$	$u>0$
$u^2$	$2uu'$

Exemple

Pour la fonction définie par $f(x)=\text{e}^{-0{,}5x+3}$ :

f'(x)=-0{,}5\,\text{e}^{-0{,}5x+3}

Cette dérivée est strictement négative, donc la fonction est décroissante sur $\mathbb{R}$ .

Exemple

Pour la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\ln(x^2+1)$ :

g'(x)=\frac{2x}{x^2+1}

Le dénominateur étant strictement positif, le signe de la dérivée est celui de $x$ .

MéthodeÉtudier une fonction complète

Déterminer l'ensemble de définition, en écartant les valeurs interdites.
Calculer les limites aux bornes et en déduire les asymptotes.
Calculer la dérivée et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations, puis répondre à la question posée, souvent une optimisation ou une résolution d'équation.

Fonctions : continuité, dérivabilité, limites

Avant de commencer

À la fin du chapitre, tu sais

I. Limites et asymptotes

II. Continuité et valeurs intermédiaires

III. La fonction logarithme népérien

IV. Dérivation des fonctions composées