Fonctions : continuité, dérivabilité, limites, représentation graphique

1. 1

   Exercice 1

   Facile

   Déterminer les limites suivantes en justifiant par les limites des fonctions de référence.

   1. $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(3+\frac{1}{x}\right)$
   2. $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}$
   3. $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-2x}$ \quad et \quad $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln x$

   Enfin, on considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=2+\dfrac{3}{x-1}$. Déterminer ses deux asymptotes.

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   Une limite de la forme « constante $+$ terme qui tend vers $0$ » donne une asymptote horizontale. Un dénominateur qui tend vers $0$ en gardant un signe constant donne une asymptote verticale.

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   1. Quand $x\to +\infty$, $\dfrac{1}{x}\to 0$, donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(3+\frac{1}{x}\right)=3$.
   2. Quand $x\to 0^+$, $x>0$ et $x\to 0$, donc $\dfrac{1}{x}\to +\infty$ : $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$.
   3. Quand $x\to +\infty$, $-2x\to -\infty$ donc $e^{-2x}\to 0$ : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-2x}=0$. Par ailleurs $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$.

   Pour $f(x)=2+\dfrac{3}{x-1}$ :

   $$\lim_{x\to +\infty} f(x)=2 \quad\text{et}\quad \lim_{x\to -\infty} f(x)=2,$$

   car $\dfrac{3}{x-1}\to 0$. La droite d'équation $y=2$ est donc asymptote horizontale en $\pm\infty$. Quand $x\to 1^+$, $x-1\to 0^+$ donc $\dfrac{3}{x-1}\to +\infty$ ; quand $x\to 1^-$, $\dfrac{3}{x-1}\to -\infty$. La droite d'équation $x=1$ est donc asymptote verticale.

2. 2

   Exercice 2

   Facile

   Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur un intervalle où elles ont un sens.

   1. $f(x)=(3x-1)^2$
   2. $g(x)=e^{2x+1}$
   3. $h(x)=\ln(x^2+1)$
   4. $k(x)=e^{-x^2}$
   Voir un indice

   Utiliser les formules $(u^2)'=2u'u$, $\big(e^{u}\big)'=u'e^{u}$, $\big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u}$, et pour $f(ax+b)$ un facteur $a$.

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   1. Avec $u(x)=3x-1$, $u'(x)=3$ : $f'(x)=2\times 3\times(3x-1)=6(3x-1)=18x-6$.

   (Vérification : $(3x-1)^2=9x^2-6x+1$, de dérivée $18x-6$.)

   1. Avec $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$ : $g'(x)=2\,e^{2x+1}$.
   2. Avec $u(x)=x^2+1>0$, $u'(x)=2x$ : $h'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
   3. Avec $u(x)=-x^2$, $u'(x)=-2x$ : $k'(x)=-2x\,e^{-x^2}$.
3. 3

   Exercice 3

   Facile
   1. Simplifier $A=\ln 6-\ln 2+\ln 3$ et l'exprimer sous la forme $n\ln 3$.
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(2x-1)=\ln(x+3)$.
   3. Une population diminue de $10\,\%$ chaque année : après $n$ années il en reste une proportion $0{,}9^{\,n}$. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que cette proportion soit inférieure à $0{,}5$ (c'est-à-dire tel que la population ait été divisée par plus de deux).
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   Utiliser $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ et $\ln\!\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$. Pour l'équation, penser au domaine. Pour le seuil, utiliser $\ln(q^n)=n\ln q$ et attention au sens de l'inégalité quand on divise par $\ln 0{,}9<0$.

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   1. $A=\ln\!\left(\dfrac{6\times 3}{2}\right)=\ln 9=\ln(3^2)=2\ln 3$.
   2. Domaine : $2x-1>0$ et $x+3>0$, soit $x>\tfrac12$. La fonction $\ln$ étant strictement croissante (donc injective), l'équation équivaut à $2x-1=x+3$, d'où $x=4$. Comme $4>\tfrac12$, la solution est $x=4$.
   3. On cherche $0{,}9^{\,n}<0{,}5$. En composant par $\ln$ (croissant) : $n\ln 0{,}9<\ln 0{,}5$. Comme $\ln 0{,}9<0$, on divise en changeant le sens : $n>\frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}9}\approx\frac{-0{,}6931}{-0{,}1054}\approx 6{,}58.$ Le plus petit entier convenable est $n=7$. Vérification : $0{,}9^{6}\approx 0{,}531>0{,}5$ et $0{,}9^{7}\approx 0{,}478<0{,}5$.
4. 4

   Exercice 4

   Facile

   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x+1$.

   1. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
   2. Dresser le tableau de variation de $f$ (avec les limites en $\pm\infty$).
   3. En déduire, à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.
   4. Donner un encadrement d'amplitude $0{,}1$ de la plus grande solution.
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   Le TVI s'applique sur chaque intervalle où $f$ est continue et strictement monotone : compter les changements de signe des valeurs aux bornes. Pour l'encadrement, procéder par balayage.

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   1. $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$. Donc $f'(x)>0$ sur $]-\infty,-1[$ et $]1,+\infty[$, et $f'(x)<0$ sur $]-1,1[$.
   2. $f(-1)=-1+3+1=3$ et $f(1)=1-3+1=-1$. De plus $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$. $\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty\\ \hline f'(x)& & + & 0 & - & 0 & + &\\ \hline & & \nearrow & 3 & & & \nearrow & +\infty\\ f & -\infty & & & \searrow & & &\\ & & & & & -1 & & \end{array}$
   3. Sur $]-\infty,-1]$, $f$ est continue strictement croissante de $-\infty$ à $3$ : elle s'annule une fois (car $0\in]-\infty,3]$). Sur $[-1,1]$, $f$ décroît de $3$ à $-1$ : elle s'annule une fois. Sur $[1,+\infty[$, $f$ croît de $-1$ à $+\infty$ : elle s'annule une fois. Au total, l'équation $f(x)=0$ admet trois solutions.
   4. La plus grande solution est dans $[1,+\infty[$. Balayage : $f(1)=-1<0$, $f(2)=8-6+1=3>0$, $f(1{,}5)=3{,}375-4{,}5+1=-0{,}125<0$, $f(1{,}6)=4{,}096-4{,}8+1=0{,}296>0$. Donc la plus grande solution $\alpha$ vérifie $1{,}5<\alpha<1{,}6$.
5. 5

   Optimisation d'un coût moyen de production

   Moyen

   Une entreprise fabrique $q$ tonnes d'un produit (avec $q>0$). Son coût total de production, exprimé en centaines d'euros, est modélisé par

   $$C(q)=0{,}5\,q^2+2q+50.$$

   On appelle coût moyen la fonction $C_M(q)=\dfrac{C(q)}{q}$ et coût marginal la fonction $C_m(q)=C'(q)$.

   1. Exprimer $C_M(q)$ puis calculer $C_M'(q)$.
   2. Déterminer la quantité $q_0$ qui minimise le coût moyen et la valeur de ce minimum.
   3. Calculer le coût marginal en $q_0$ et comparer avec le coût moyen minimal. Commenter.
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   $C_M(q)=0{,}5q+2+\dfrac{50}{q}$. Étudier le signe de $C_M'$. Une propriété classique : au minimum du coût moyen, coût moyen et coût marginal sont égaux.

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6. 6

   Décroissance de la concentration d'un médicament

   Moyen

   Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang (en mg/L) est modélisée, pour $t\geq 0$ (en heures), par

   $$C(t)=5\,e^{-0{,}2\,t}.$$

   1. Calculer $C(0)$ et déterminer $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}C(t)$. Interpréter graphiquement.
   2. Calculer $C'(t)$ et en déduire le sens de variation de $C$.
   3. Le médicament est inefficace dès que la concentration passe sous $1$ mg/L. Déterminer l'instant $t$ à partir duquel c'est le cas (valeur exacte puis valeur approchée).
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   $C$ est de la forme $t\mapsto 5e^{u(t)}$ avec $u(t)=-0{,}2t$. Pour la question 3, résoudre $C(t)=1$ à l'aide de $\ln$.

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7. 7

   Temps de doublement d'un capital

   Moyen

   On place un capital de $1000$ euros sur un compte rémunéré à un taux annuel de $4\,\%$. Au bout de $n$ années, le capital vaut

   $$C_n=1000\times 1{,}04^{\,n}.$$

   1. Déterminer, à l'aide du logarithme népérien, le plus petit entier $n$ tel que le capital ait au moins doublé.
   2. Retrouver l'ordre de grandeur du résultat par la « règle des $70$ » ($n\approx 70/\text{taux en }\%$) et commenter.
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   Résoudre $1{,}04^{\,n}\geq 2$ en utilisant $\ln(q^n)=n\ln q$. Comme $\ln 1{,}04>0$, le sens de l'inégalité est conservé.

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8. 8

   Exercice 8

   Difficile

   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+x-1$.

   1. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution réelle $\alpha$, et que $\alpha\in]0,1[$.
   2. Dichotomie. Effectuer deux étapes de dichotomie sur $[0,1]$ pour encadrer $\alpha$.
   3. Méthode de Newton. La suite de Newton est définie par $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. En partant de $x_0=1$, calculer $x_1$, $x_2$ et $x_3$ (arrondis à $10^{-4}$).
   4. Comparer la rapidité des deux méthodes.
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9. 9

   Exercice 9

   Difficile

   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+e^{x}$.

   1. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. On note $f^{-1}$ sa réciproque.
   2. Calculer $f(0)$ et en déduire $f^{-1}(1)$.
   3. En admettant la formule $\big(f^{-1}\big)'(f(a))=\dfrac{1}{f'(a)}$, calculer $\big(f^{-1}\big)'(1)$.
   4. Que peut-on dire des courbes de $f$ et $f^{-1}$ dans un repère orthonormé ? Déterminer enfin un encadrement d'amplitude $0{,}1$ de l'unique solution de $f(x)=0$.
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