Bac maths 2025 — Polynésie jour 2

Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près.

Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs: 0 ou 1.

Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre.

Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire en transmettant l'information telle qu'elle l'a reçue (1 devient 1 et 0 devient 0), soit de façon contraire (1 devient 0 et 0 et devient 1).

La transmission est fidèle dans 90 % des cas, et donc contraire dans 10 % des cas.

Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur 1.

Partie A

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note :

• $V_n$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 1 »;
• $\overline{V_n}$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 0 ».

1. 1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.

2. Démontrer que $P(V_3) = 0{,}82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

3. Sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1.

4. Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note $p_n = P(V_n)$.

   La première machine a reçu la valeur 1, on a donc $p_1 = 1$.

   1. Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

      $$p_{n+1} = 0{,}8p_n + 0{,}1.$$

   2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

      $$p_n = 0{,}5 \times 0{,}8^{n-1} + 0{,}5.$$

   3. Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction simulation qui prend en paramètre un entier naturel $n$ qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.

On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.

On rappelle que l'instruction rand() renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle [0 ; 1[.

[frame=single]
1   def simulation(n): 
2      donnee = 1
3      liste = [donnee] 
4      for k in range(n):
5          if rand() <0.1
6             donnee = 1 - donnee
7          liste.append(donnee) 
9      return liste

Par exemple, simulation(3) peut renvoyer [1,  0,  0,  1].Cette liste traduit :

• qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines;
• la première machine qui détient la valeur 1 a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine ;
• la deuxième machine a transmis la donnée qu'elle détient de façon fidèle à la troisième ;
• la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu'elle détient à la quatrième.

1. Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus.
2. Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie la liste [1, 1, 1, 1, 1] et la probabilité que simulation(6) renvoie la liste [1,  0, 1, 0, 0, 1, 1].

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]2~;~ +\infty[$ par

$$f(x) = x \ln (x - 2).$$

Une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

1. Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$ ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.

2. Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $]2~;~+\infty[$.

3. Calculer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2\\x > 2}} f(x)$.

   Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1. ?

4. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2~;~+\infty[$ :

   $$f'(x) = \ln (x - 2) + \dfrac{x}{x - 2}.$$

5. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$ par $g(x) = f'(x)$.

   1. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2~;~+\infty[$, on a:

      $$g'(x) = \dfrac{x - 4}{(x - 2)^2}.$$

   2. On admet que $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2\\x>2}} g(x) = + \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = +\infty$.

      En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $]2~;~+\infty[$. On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $g$.

   3. En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $]2~;~+\infty[$,  $g(x) > 0$.

   4. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $]2~;~+\infty[$.

6. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]2~;~+\infty[$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.

7. Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à $3$ ?

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

On considère les points suivants:

A(1 ; 3 ; 0), B$(-1~;~4~;~5)$, C(0 ; 1 ; 0) et D$(- 2~;~2~;~1)$.

1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.

2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

3. Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\overrightarrow{\,\mathstrut u\,}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.

   1. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC).

   2. Justifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne:

      $$2x - y + z + 1 = 0.$$

   3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.

4. On appelle H le point de coordonnées $\left(-\frac 23~ ~\frac 43~;~\frac 53\right)$.

   Vérifier que H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

5. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par$V = \dfrac 13 B \times h$, où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est sa hauteur relative à cette base.

   1. Montrer que DH $=\dfrac{2\sqrt 6}{3}$.
   2. En déduire le volume du tétraèdre ABCD.

6. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique :

   $$\left\{\begin{array}{lcr} x&=&1 - 2k\\ y&=& - 3k\\ z&=&1 + k\end{array}\right. \: \text{où}\:\: k \:\ \text{décrit}\:\: \mathbb{R}.$$

   La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soient $E$ et $F$ les ensembles $E = \{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7\}$ et

   $F = \{0~;~1~;~2~;~3~;~ 4~;~5~;~6~;~7~;~8~;~9\}$.

   Affirmation n° 1 : Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$.

2. Dans le repère orthonormé ci-contre, on a représenté la fonction carré, notée $f$, ainsi que le carré ABCD de côté 3.

   Affirmation n° 2 : La zone hachurée et le carré ABCD ont la même aire.

3. On considère l'intégrale $J$ ci-dessous :

   $$J = \displaystyle\int_1^2 x \ln (x)\,\text{d}x.$$

   Affirmation n° 3 : Une intégration par parties permet d'obtenir: $J = \dfrac{7}{11}$.

4. Sur $\mathbb{R}$, on considère l'équation différentielle

   $$(E) :\quad y' = 2y - \text{e}^x.$$

   Affirmation n° 4 : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{2x}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

5. Soit $x$ donné dans [0 ; 1[. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

   $$u_n = (x - 1)\text{e}^n + \cos (n).$$

   Affirmation n° 5 : La suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty.$