Bac maths 2025 — Métropole jour 2

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Dans cet exercice on s'intéresse à des personnes venues séjourner dans un centre multisports au cours du week-end.

Les résultats des probabilités demandées seront arrondis au millième si nécessaire.

Partie A

Le centre propose aux personnes venues pour un week-end une formule d'initiation au roller composée de deux séances de cours.

On choisit au hasard une personne parmi celles ayant souscrit à cette formule.

On désigne par $A$ et $B$ les évènements suivants :

• $A$ : « La personne chute pendant la première séance » ;
• $B$ : « La personne chute pendant la deuxième séance ».

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $P(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ son évènement contraire.

Des observations permettent d'admettre que $P(A) = 0{,}6$.

De plus on constate que:

• Si la personne chute pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0{,}3$ ;
• Si la personne ne chute pas pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0{,}4$.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité $P \left (\overline{A} \cap \overline{B} \right )$ et interpréter le résultat.

3. Montrer que $P(B) = 0{,}34$.

4. La personne ne chute pas pendant la deuxième séance de cours.

   Calculer la probabilité qu'elle n'ait pas chuté lors de la première séance.

5. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $100$ personnes ayant souscrit à la formule, associe le nombre d'entre elles n'ayant chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance.

   On assimile le choix d'un échantillon de 100 personnes à un tirage avec remise.

   On admet que la probabilité qu'une personne ne chute ni lors de la première ni lors de la deuxième séance est de $0{,}24$.

   1. Montrer que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Quelle est la probabilité d'avoir, dans un échantillon de $100$ personnes ayant souscrit à la formule, au moins $20$ personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance ?
   3. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On choisit au hasard une personne venue un week-end au centre multisport. On note $T_1$ la variable aléatoire donnant son temps d'attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du samedi et $T_2$ la variable aléatoire donnant son temps d'attente total en minutes avant les accès aux activités sportives pendant la journée du dimanche.

On admet que :

• $T_1$ suit une loi de probabilité d'espérance $E(T_1) = 40$ et d'écart-type $\sigma(T_1) = 10$ ;
• $T_2$ suit une loi de probabilité d'espérance $E(T_2) = 60$ et d'écart-type $\sigma(T_2) = 16$ ;
• les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes.

On note $T$ la variable aléatoire donnant le temps total d'attente avant les accès au activités sportives lors des deux jours, exprimé en minute. Ainsi on a $T = T_1 + T_2$.

1. Déterminer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice,
2. Montrer que la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$ est égale à 356.
3. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour une personne choisie au hasard parmi celles venues un week-end au centre multisports, la probabilité que son temps total d'attente $T$ soit strictement compris entre $60$ et $140$ minutes est supérieure à $0{,}77$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$. On considère :

• les points A$(-1~;~2~;~1)$,  B$(1~;~-1~;~2)$ et C(1 ; 1 ; 1) ;

• la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par:

  $$d : \:\: \left\{\begin{array}{lcl} x& =& \frac 32 + 2t\\ y&=&2 +t\\ z&=&3 - t \end{array}\right. \:\text{avec}\: t \in\mathbb{R} ;$$

• la droite $d'$ dont une représentation paramétrique est donnée par :

  $$d' : \:\: \left\{\begin{array}{lcl} x& =&s\\ y&=&\frac 32 + s\\ z&=&3 - 2s \end{array}\right. \:\text{avec}\: s \in\mathbb{R} ;$$

Partie A

1. Montrer que les droites $d$ et $d'$ sont sécantes au point S$\left(- \frac 12~;~1~;~4\right)$.

2. 1. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{\,\mathstrut n\,}\begin{pmatrix} 1\\2\\4\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).

   2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est:

      $$x + 2y + 4z - 7 = 0.$$
3. Démontrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
4. 1. Démontrer que le point H$(-1~;~0~;~2)$ est le projeté orthogonal de S sur le plan (ABC)
   2. En déduire qu'il n'existe aucun point $M$ du plan (ABC) tel que S$M < \dfrac{\sqrt{21}}{2}$.

Partie B

On considère un point $M$ appartenant au segment [CS]. On a donc $\overrightarrow{\,\mathstrut\text{C}M\,} = k\overrightarrow{\,\mathstrut\text{CS}\,}$ avec $k$ réel de l'intervalle [0 ; 1].

1. Déterminer les coordonnées du point $M$ en fonction de $k$.
2. Existe-t-il un point $M$ sur le segment [CS] tel que le triangle ($M$AB) soit rectangle en $M$ ?

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par

   $$u_n = \dfrac{1 + 5^n}{2 +3^n}.$$

   Affirmation 1 : La suite $(u_n)$ converge vers $\dfrac 53$.

2. On considère la suite $(w_n)$ définie par:

   $w_0 = 0$  et, pour tout entier naturel  $n, w_{n+1} = 3w_n - 2n + 3$.

   Affirmation 2 : Pour tout entier naturel $n,\: w_n \geqslant n$.

3. On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée dans un repère orthonormé sur la figure (Fig. 1) en page suivante.

   On précise que:

   • $T$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 8 ;
   • L'axe des abscisses est la tangente horizontale à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.

Affirmation 3 : D'après le graphique, la fonction $f$ est convexe sur son ensemble de définition. 4. Affirmation 4 : Pour tout réel $x > 0,\quad \ln (x) - x + 1 \leqslant 0$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

L'objet de cet exercice est l'étude de l'arrêt d'un chariot sur un manège, à partir du moment où il entre dans la zone de freinage en fin de parcours.

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.

On modélise la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage, exprimée en mètre, en fonction de $t$, à l'aide d'une fonction notée $d$ définie sur $[0 ~;~+\infty[$.

On a ainsi $d(0) = 0$.

Par ailleurs, on admet que cette fonction $d$ est dérivable sur son ensemble de définition. On note $d'$ sa fonction dérivée.

Partie A

Sur la figure (Fig. 2) ci-dessous, on a tracé dans un repère orthonormé :

• la courbe représentative $\mathcal{C}_d$ de la fonction $d$ ;
• la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_d$ au point A d'abscisse 4,7 ;
• l'asymptote $\Delta$ à $\mathcal{C}_d$ en $+\infty$.

Dans cette partie, aucune justification n'est attendue.

Avec la précision que permet le graphique, répondre aux questions ci-dessous.

D'après ce modèle :

1. Au bout de combien de temps le chariot aura-t-il parcouru $15$ m dans la zone de freinage ?
2. Quelle longueur minimale doit-être prévue pour la zone de freinage ?
3. Que vaut $d'(4{,}7)$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On rappelle que $t$ désigne le temps écoulé, en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.

On modélise la vitesse instantanée du chariot, en mètre par seconde $\left(\text{m}.\text{s}^{-1}\right)$, en fonction de $t$, par une fonction $v$ définie sur $[0~;~+\infty[$.

On admet que :

• la fonction $v$ est dérivable sur son ensemble de définition, et on note $v'$ sa fonction dérivée ;

• la fonction $v$ est une solution de l'équation différentielle

  $$(E) :\quad y' + 0{,}6y = \text{e}^{-0{,}6t},$$

  où $y$ est une fonction inconnue et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

  On précise de plus que, lors de son arrivée sur la zone de freinage, la vitesse du chariot est égale à $12$ m.s$^{-1}$, c'est-à-dire $v(0) = 12$.

1. 1. On considère l'équation différentielle

      $$(E') :\quad y' + 0{,}6y = 0.$$

      Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E')$ sur $[0~;~+\infty[$.

   2. Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(t) = t\text{e}^{-0{,}6t}$.

      Vérifier que la fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.

   3. En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+\infty[$.

   4. En déduire que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a :

      $$v(t) = (12+t)\text{e}^{-0{,}6t}.$$

2. Dans cette question, on étudie la fonction $v$ sur $[0~;~+\infty[$.

   1. Montrer que pour tout réel $t \in [0~;~ +\infty[,\: v'(t) = (-6{,}2 - 0{,}6t)\text{e}^{-0{,}6t}$.

   2. En admettant que:

      $$v(t) = 12\text{e}^{-0{,}6t} + \dfrac{1}{0{,}6} \times \dfrac{0{,}6t}{\text{e}^{0{,}6t}},$$

      déterminer la limite de $v$ en $+\infty$.

   3. Étudier le sens de variation de la fonction $v$ et dresser son tableau de variation complet. Justifier.

   4. Montrer que l'équation $v(t) = 1$ admet une solution unique $\alpha$, dont on donnera une valeur approchée au dixième.

3. Lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à 1 mètre par seconde, un système mécanique se déclenche permettant son arrêt complet.

   Déterminer au bout de combien de temps ce système entre en action. Justifier.

Partie C

On rappelle que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ :

$$v(t) = (12 + t)\text{e}^{-0{,}6t}.$$

On admet que pour tout réel $t$ dans l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ :

$$d(t) = \displaystyle\int_0^t v(x)\:\text{d}x.$$

1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que la distance parcourue par le chariot entre les instants 0 et $t$ est donnée par :

   $$d(t)= \text{e}^{-0{,}6t} \left(- \dfrac53 t - \dfrac{205}{9}\right) + \dfrac{205}{9}.$$

2. On rappelle que le dispositif d'arrêt se déclenche lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à 1 mètre par seconde.

   Déterminer, selon ce modèle, une valeur approchée au centième de la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage avant le déclenchement de ce dispositif.